Distribución Normal: Tiempo en ventanilla

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde entre 5 y 10 minutos?** Primero definimos la variable aleatoria $X$: $X =$ tiempo que tarda un usuario en ventanilla (en minutos). El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $X \sim N(8, \, 2.5)$. Queremos calcular $P(5 \le X \le 10)$. Para poder usar las tablas de la normal estándar, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: - Para $x = 5$: $z_1 = \frac{5 - 8}{2.5} = \frac{-3}{2.5} = -1.2$ - Para $x = 10$: $z_2 = \frac{10 - 8}{2.5} = \frac{2}{2.5} = 0.8$ Por tanto: $P(5 \le X \le 10) = p(-1.2 \le Z \le 0.8)$ 💡 **Tip:** La tipificación nos permite transformar cualquier normal $N(\mu, \sigma)$ en una $N(0, 1)$ para poder buscar los valores en la tabla estándar.

Descomponemos la probabilidad del intervalo utilizando las propiedades de la función de distribución: $p(-1.2 \le Z \le 0.8) = p(Z \le 0.8) - p(Z \le -1.2)$ Como la tabla no suele mostrar valores negativos, usamos la simetría de la normal: $p(Z \le -1.2) = 1 - p(Z \le 1.2)$. Sustituimos: $P = p(Z \le 0.8) - [1 - p(Z \le 1.2)]$ Buscamos los valores en la tabla $N(0,1)$: - $p(Z \le 0.8) = 0.7881$ - $p(Z \le 1.2) = 0.8849$ Calculamos: $P = 0.7881 - (1 - 0.8849) = 0.7881 - 0.1151 = 0.6730$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(5 \le X \le 10) = 0.6730}$$ (Es decir, hay un **67,3%** de probabilidad de que el usuario tarde entre 5 y 10 minutos).

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de 4 usuarios supere los 11 minutos?** En este apartado no estudiamos a un individuo, sino la media de una muestra de tamaño $n = 4$. Si la población original es $X \sim N(\mu, \sigma)$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ En nuestro caso: - $\mu = 8$ - $\sigma_{\bar{X}} = \frac{2.5}{\sqrt{4}} = \frac{2.5}{2} = 1.25$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(8, \, 1.25)$. Queremos hallar $P(\bar{X} \gt 11)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media de un grupo es siempre menor que la de los individuos por separado.

Tipificamos para la nueva distribución de la media muestral: $z = \frac{11 - 8}{1.25} = \frac{3}{1.25} = 2.4$ Entonces: $P(\bar{X} \gt 11) = p(Z \gt 2.4)$ Para calcularlo con la tabla: $p(Z \gt 2.4) = 1 - p(Z \le 2.4)$ Buscamos el valor en la tabla $N(0,1)$: - $p(Z \le 2.4) = 0.9918$ Operamos: $1 - 0.9918 = 0.0082$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 11) = 0.0082}$$ (Es una probabilidad muy baja, un **0,82%**, lo cual tiene sentido ya que es difícil que el promedio de 4 personas sea tan alto comparado con la media de 8).

**c) Si en la cola hay 24 usuarios, ¿cuántos de ellos se espera que tarden más de 8 minutos?** Primero calculamos la probabilidad de que un usuario cualquiera tarde más de 8 minutos: $P(X \gt 8)$. Como la media es $\mu = 8$ y la distribución normal es simétrica respecto a la media, sabemos que: $P(X \gt 8) = 0.5$ Si queremos calcularlo mediante tipificación: $z = \frac{8 - 8}{2.5} = 0$ $p(Z \gt 0) = 1 - p(Z \le 0) = 1 - 0.5 = 0.5$ Para saber cuántos usuarios se "espera" que cumplan la condición (el valor esperado o esperanza), multiplicamos el número total de usuarios ($n = 24$) por la probabilidad individual ($p = 0.5$): $E = n \cdot p = 24 \cdot 0.5 = 12$ 💡 **Tip:** El término "se espera" en estadística se refiere a la Esperanza Matemática o media de una distribución binomial $B(n, p)$, que se calcula como $n \cdot p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se espera que } 12 \text{ usuarios tarden más de 8 minutos}}$$