Producción de energía de fuentes combinadas

**a) ¿En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes?** Para encontrar el momento en el que ambas fuentes producen la misma cantidad de energía, debemos igualar sus funciones de producción: $f(x) = g(x)$. $$-x^2 + 10x + 600 = \frac{x}{2} + 615$$ Para trabajar sin fracciones, multiplicamos toda la ecuación por $2$: $$-2x^2 + 20x + 1200 = x + 1230$$ Agrupamos todos los términos en un lado de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$-2x^2 + 19x - 30 = 0$$ O lo que es lo mismo (multiplicando por $-1$): $$2x^2 - 19x + 30 = 0$$ 💡 **Tip:** Al igualar dos funciones buscamos los puntos de corte o intersección entre sus gráficas.

Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Sustituimos los valores $a = 2$, $b = -19$ y $c = 30$: $$x = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$$ $$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 240}}{4}$$ $$x = \frac{19 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{19 \pm 11}{4}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{19 + 11}{4} = \frac{30}{4} = 7,5$ horas. 2. $x_2 = \frac{19 - 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$ horas. Ambos valores se encuentran dentro del dominio del problema ($0 \le x \le 10$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las fuentes producen la misma energía a las 2 y a las 7,5 horas.}}$$

**b) ¿En qué intervalo es decreciente la producción de la primera fuente?** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la primera fuente, $f(x) = -x^2 + 10x + 600$, calculamos su derivada $f'(x)$: $$f'(x) = -2x + 10$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-2x + 10 = 0 \implies 10 = 2x \implies x = 5$$ Ahora estudiamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo dado $[0, 10]$ para determinar dónde la función es decreciente: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 5) & 5 & (5, 10] \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Una función es decreciente en los intervalos donde su primera derivada es negativa ($f'(x) < 0$). Como $f'(x) < 0$ para $x > 5$, la función es decreciente en el intervalo $(5, 10]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La producción es decreciente en el intervalo (5, 10]}}$$

**c) ¿En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes?** La producción conjunta, que llamaremos $S(x)$, es la suma de las producciones individuales de ambas fuentes: $$S(x) = f(x) + g(x)$$ $$S(x) = (-x^2 + 10x + 600) + \left(\frac{x}{2} + 615\right)$$ $$S(x) = -x^2 + 10,5x + 1215$$ Para maximizar esta función, calculamos su derivada: $$S'(x) = -2x + 10,5$$ 💡 **Tip:** Para maximizar una función en un intervalo cerrado, debemos buscar puntos donde la derivada es cero y comprobar también los extremos del intervalo.

Igualamos la derivada a cero para encontrar el candidato a máximo: $$-2x + 10,5 = 0 \implies 10,5 = 2x \implies x = \frac{10,5}{2} = 5,25$$ Para confirmar que es un máximo, utilizamos la segunda derivada: $$S''(x) = -2$$ Como $S''(5,25) = -2 < 0$, confirmamos que en $x = 5,25$ existe un **máximo relativo**. Dado que es una parábola cóncava (abierta hacia abajo) y el vértice está dentro del intervalo $[0, 10]$, este es el máximo absoluto del periodo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La producción conjunta es máxima a las 5,25 horas (5 horas y 15 minutos).}}$$