Optimización de beneficios en carpintería metálica

**a) Plantear un problema para determinar las cantidades que debe fabricar de cada tipo para maximizar los beneficios.** Primero, definimos las variables de decisión que representan las cantidades a fabricar de cada producto: - $x$: número de puertas del primer tipo. - $y$: número de puertas del segundo tipo. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por cada puerta de tipo 1 es de $40$ € y el de tipo 2 es de $60$ €. Por tanto, la función objetivo $B(x, y)$ es: $$\boxed{B(x, y) = 40x + 60y}$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, identifica siempre qué te preguntan (las incógnitas) para definir las variables $x$ e $y$ correctamente.

A continuación, traducimos las limitaciones del problema en inecuaciones: 1. **Hierro macizo:** No puede usar más de los $440$ m disponibles. $$10x + 5y \le 440 \implies 2x + y \le 88$$ 2. **Hierro hueco:** Debe gastar al menos $800$ m. $$20x + 20y \ge 800 \implies x + y \ge 40$$ 3. **Producción mínima tipo 1:** Al menos $25$ unidades. $$x \ge 25$$ 4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas del tipo 2. $$y \ge 0$$ El sistema de restricciones que define el problema es: $$\boxed{\begin{cases} 2x + y \le 88 \\ x + y \ge 40 \\ x \ge 25 \\ y \ge 0 \end{cases}}$$

**b) Dibujar la región factible y encontrar la solución óptima para el problema.** Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano que cumplen: - $r_1: 2x + y = 88$ (Pasa por $(44, 0)$ y $(0, 88)$) - $r_2: x + y = 40$ (Pasa por $(40, 0)$ y $(0, 40)$) - $r_3: x = 25$ (Recta vertical) - $r_4: y = 0$ (Eje X) La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.

A continuación se muestra la representación gráfica de las restricciones y la región de soluciones posibles.

Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas que se cruzan: - **Punto A** (Cruce de $x=25$ y $x+y=40$): $25 + y = 40 \implies y = 15 \implies A(25, 15)$ - **Punto B** (Cruce de $x=25$ y $2x+y=88$): $2(25) + y = 88 \implies 50 + y = 88 \implies y = 38 \implies B(25, 38)$ - **Punto C** (Cruce de $y=0$ y $2x+y=88$): $2x + 0 = 88 \implies x = 44 \implies C(44, 0)$ - **Punto D** (Cruce de $y=0$ y $x+y=40$): $x + 0 = 40 \implies x = 40 \implies D(40, 0)$ Evaluamos la función beneficio $B(x, y) = 40x + 60y$ en cada vértice: - $B(25, 15) = 40(25) + 60(15) = 1000 + 900 = 1900$ € - $B(25, 38) = 40(25) + 60(38) = 1000 + 2280 = 3280$ € - $B(44, 0) = 40(44) + 60(0) = 1760$ € - $B(40, 0) = 40(40) + 60(0) = 1600$ € El beneficio máximo se obtiene en el punto $B(25, 38)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe fabricar 25 puertas del tipo 1 y 38 puertas del tipo 2}}$$

**c) ¿Cuántos metros le han sobrado de varillas de hierro macizo?** Calculamos la cantidad de hierro macizo utilizada para fabricar la solución óptima ($x=25, y=38$): $$\text{Hierro utilizado} = 10x + 5y = 10(25) + 5(38)$$ $$\text{Hierro utilizado} = 250 + 190 = 440 \text{ metros}$$ Como el artesano disponía de $440$ metros y ha gastado exactamente $440$ metros, el sobrante es: $$\text{Sobrante} = 440 - 440 = 0 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Si el punto óptimo se encuentra sobre la recta de una restricción de capacidad (como $2x+y=88$ en este caso), significa que ese recurso se ha agotado por completo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Le han sobrado 0 metros de varilla de hierro macizo}}$$