Ecuación matricial y dimensiones de matrices

**a) (0.5 puntos) Determine la dimensión que debe tener una matriz $A$ para que se verifique la igualdad $A \cdot B = 2 C^t$.** Para que el producto de matrices y la igualdad sean posibles, debemos analizar las dimensiones de cada parte de la ecuación $A \cdot B = 2 C^t$: 1. **Dimensión de $B$:** Es una matriz de $2 \times 2$. 2. **Dimensión de $C$:** Es una matriz de $2 \times 3$. 3. **Dimensión de $C^t$:** Al trasponer $C$, las filas pasan a ser columnas, por lo que su dimensión es $3 \times 2$. La matriz $2C^t$ mantiene esta misma dimensión: $3 \times 2$. Sea $A$ una matriz de dimensión $m \times n$. Para que el producto $A \cdot B$ exista, el número de columnas de $A$ debe coincidir con el número de filas de $B$: $$n = 2$$ El resultado del producto $A \cdot B$ tendrá la dimensión (filas de $A$) $\times$ (columnas de $B$), es decir, $m \times 2$. Como este resultado debe ser igual a $2C^t$ (que es $3 \times 2$): $$m \times 2 = 3 \times 2 \implies m = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $(m \times n) \cdot (n \times p)$, el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda. El resultado es una matriz $(m \times p)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La dimensión de } A \text{ debe ser } 3 \times 2}$$

**b) (2 puntos) Halle la matriz $A$ anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos $a_{31} = 2, a_{12} = -3, a_{22} = 1$.** Basándonos en el apartado anterior, sabemos que $A$ es una matriz $3 \times 2$. Representamos sus elementos desconocidos como variables: $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & -3 \\ a_{21} & 1 \\ 2 & a_{32} \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora el lado derecho de la igualdad, $2C^t$: $$C = \begin{pmatrix} -1 & -8 & -1 \\ -9 & 3 & 6 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} -1 & -9 \\ -8 & 3 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$$ $$2C^t = 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 & -9 \\ -8 & 3 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -18 \\ -16 & 6 \\ -2 & 12 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La traspuesta de una matriz se obtiene cambiando filas por columnas. El elemento $c_{ij}$ de $C$ pasa a ser el elemento $c_{ji}$ de $C^t$.

Realizamos el producto $A \cdot B$ e igualamos a $2C^t$: $$\begin{pmatrix} a_{11} & -3 \\ a_{21} & 1 \\ 2 & a_{32} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -18 \\ -16 & 6 \\ -2 & 12 \end{pmatrix}$$ Operamos el producto fila por columna: $$\begin{pmatrix} (-5a_{11} - 12) & (0 - 18) \\ (-5a_{21} + 4) & (0 + 6) \\ (-10 + 4a_{32}) & (0 + 6a_{32}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -18 \\ -16 & 6 \\ -2 & 12 \end{pmatrix}$$ Ahora igualamos los elementos correspondientes para hallar las incógnitas: 1. **Fila 1:** $-5a_{11} - 12 = -2 \implies -5a_{11} = 10 \implies a_{11} = -2$. (El elemento $(1,2)$ ya cumple $-18 = -18$). 2. **Fila 2:** $-5a_{21} + 4 = -16 \implies -5a_{21} = -20 \implies a_{21} = 4$. (El elemento $(2,2)$ ya cumple $6 = 6$). 3. **Fila 3:** $-10 + 4a_{32} = -2 \implies 4a_{32} = 8 \implies a_{32} = 2$. (Comprobamos con el último elemento: $6a_{32} = 12 \implies 6(2) = 12$, que es correcto). 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, una vez planteado el producto, igualamos elemento a elemento para obtener ecuaciones lineales sencillas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}$$