Cálculo de parámetros y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Halle los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene un mínimo en $x = 0$ y que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 0).** Si la gráfica de la función pasa por el punto $(0, 0)$, significa que cuando $x = 0$, el valor de la función debe ser $f(0) = 0$. Sustituimos en la expresión de $f(x)$: $$f(0) = -2(0)^3 + a \cdot e^{-0} + b \cdot (0) - 1 = 0$$ $$0 + a \cdot 1 + 0 - 1 = 0$$ $$a - 1 = 0 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** El punto $(x, y)$ pertenece a la gráfica si $f(x) = y$. En este caso, al ser el origen, $f(0) = 0$. $$\boxed{a = 1}$$

Para que la función tenga un mínimo en $x = 0$, su derivada primera en ese punto debe ser igual a cero ($f'(0) = 0$) y su derivada segunda debe ser positiva ($f''(0) \gt 0$). Primero, calculamos la derivada de $f(x) = -2x^3 + a \cdot e^{-x} + b \cdot x - 1$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3) + \frac{d}{dx}(a \cdot e^{-x}) + \frac{d}{dx}(bx) - \frac{d}{dx}(1)$$ $$f'(x) = -6x^2 - a \cdot e^{-x} + b$$ Sustituimos $x = 0$ y el valor hallado $a = 1$ en $f'(x) = 0$: $$f'(0) = -6(0)^2 - 1 \cdot e^{-0} + b = 0$$ $$-1 + b = 0 \implies b = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$ por la regla de la cadena. $$\boxed{b = 1}$$

Para asegurar que en $x = 0$ hay un mínimo y no otro tipo de extremo, usamos la derivada segunda: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(-6x^2 - 1 \cdot e^{-x} + 1) = -12x + e^{-x}$$ Evaluamos en $x = 0$: $$f''(0) = -12(0) + e^{0} = 1$$ Como $f''(0) = 1 \gt 0$, queda confirmado que existe un **mínimo relativo** en $x = 0$. ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$

**b) (1 punto) Para $a = 0$ y $b = 1$, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = -1$.** Sustituimos los valores $a = 0$ y $b = 1$ en la función original: $$f(x) = -2x^3 + 0 \cdot e^{-x} + 1 \cdot x - 1 = -2x^3 + x - 1$$ La ecuación de la recta tangente en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = -1$. Necesitamos calcular $f(-1)$ y $f'(-1)$. 💡 **Tip:** La recta tangente es una aproximación lineal de la función en un punto. Su pendiente es el valor de la derivada en dicho punto.

Calculamos el valor de la función en $x = -1$: $$f(-1) = -2(-1)^3 + (-1) - 1 = -2(-1) - 1 - 1 = 2 - 2 = 0$$ El punto de tangencia es **$(-1, 0)$**. Calculamos la derivada de la nueva función: $$f'(x) = -6x^2 + 1$$ Evaluamos la pendiente en $x = -1$: $$m = f'(-1) = -6(-1)^2 + 1 = -6 + 1 = -5$$ ✅ **Valores obtenidos:** $$\boxed{f(-1) = 0, \quad f'(-1) = -5}$$

Sustituimos los valores en la fórmula punto-pendiente: $$y - 0 = -5(x - (-1))$$ $$y = -5(x + 1)$$ $$y = -5x - 5$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -5x - 5}$$