Independencia e incompatibilidad de sucesos

**a) (0.5 puntos) Diga, razonadamente, si $A$ y $B$ son sucesos incompatibles.** Para resolver este ejercicio, primero debemos entender la diferencia entre sucesos independientes e incompatibles. 1. **Sucesos independientes:** Dos sucesos son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. 2. **Sucesos incompatibles:** Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, su intersección es vacía: $P(A \cap B) = 0$. Calculamos la probabilidad de la intersección usando la condición de independencia: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.5 \cdot 0.3 = 0.15.$$ Como $P(A \cap B) = 0.15$ y este valor es distinto de cero ($0.15 eq 0$), los sucesos **no son incompatibles**. Para visualizar mejor el problema, podemos completar una **tabla de contingencia** con todas las probabilidades individuales (recordando que $P(A^c) = 1 - P(A)$ y $P(B^c) = 1 - P(B)$): $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^c & \text{Total} \\ \hline A & 0.15 & 0.35 & 0.5 \\ A^c & 0.15 & 0.35 & 0.5 \\ \hline \text{Total} & 0.3 & 0.7 & 1.0 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos con probabilidad distinta de cero son independientes, obligatoriamente deben ser compatibles (su intersección no es cero). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son incompatibles porque } P(A \cap B) = 0.15 \neq 0}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda $A$ y no suceda $B$?** El suceso "sucede $A$ y no sucede $B$" se representa matemáticamente como la intersección de $A$ con el complementario de $B$: $P(A \cap B^c)$. Podemos calcularlo restando a la probabilidad de $A$ la parte que comparte con $B$: $$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(A \cap B^c) = 0.5 - 0.15 = 0.35.$$ También podríamos haberlo razonado sabiendo que, si $A$ y $B$ son independientes, entonces $A$ y $B^c$ también lo son: $$P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c) = 0.5 \cdot (1 - 0.3) = 0.5 \cdot 0.7 = 0.35.$$ 💡 **Tip:** La expresión "suceda A y no suceda B" equivale a la diferencia de sucesos $A - B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B^c) = 0.35}$$

**c) (1 punto) Calcule $P(A / B^c)$.** La expresión $P(A / B^c)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que no ha ocurrido $B$. Aplicamos la fórmula de la **probabilidad condicionada**: $$P(A / B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$$ Del apartado anterior y de los datos iniciales sabemos que: - $P(A \cap B^c) = 0.35$ - $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.3 = 0.7$ Calculamos el cociente: $$P(A / B^c) = \frac{0.35}{0.7} = 0.5.$$ 💡 **Tip:** Nota que el resultado es igual a $P(A)$. Esto es lógico porque, al ser $A$ y $B$ **independientes**, el hecho de que ocurra o no ocurra $B$ no afecta en nada a la probabilidad de $A$. Por definición de independencia: $P(A/B) = P(A)$ y $P(A/B^c) = P(A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A / B^c) = 0.5}$$