Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1 punto) A partir de una muestra de 100 barras de pan se ha calculado el intervalo de confianza para la media poblacional, resultando ser (31.2, 33.4). Halle la media muestral y el error de estimación.** Sabemos que un intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ tiene la estructura: $$IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Donde $\bar{x}$ es la media de la muestra y $E$ es el error de estimación. El valor de la media muestral siempre se encuentra en el punto medio del intervalo. 1. **Cálculo de la media muestral ($\bar{x}$):** $$\bar{x} = \frac{31.2 + 33.4}{2} = \frac{64.6}{2} = 32.3\text{ cm}$$ 2. **Cálculo del error de estimación ($E$):** El error es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{33.4 - 31.2}{2} = \frac{2.2}{2} = 1.1\text{ cm}$$ Alternativamente, podemos calcularlo restando la media del extremo superior: $33.4 - 32.3 = 1.1$. 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral es siempre el centro del intervalo de confianza y el error es la distancia desde ese centro a cualquiera de los extremos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 32.3\text{ cm}, \quad E = 1.1\text{ cm}}$$

**b) (1.5 puntos) Para un nivel de confianza del 96%, halle el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación máximo sea 1.5.** Extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$. - Error máximo permitido: $E = 1.5$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$. Para calcular el tamaño muestral, necesitamos primero el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 96% de confianza.

Si el nivel de confianza es del $96\%$, entonces: $$1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que el área acumulada a su izquierda sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$: - Para $z = 2.05$, el área es $0.9798$. - Para $z = 2.06$, el área es $0.9803$. El valor más cercano es $0.9798$, por lo que tomamos: $$z_{\alpha/2} = 2.05$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en cada cola de la distribución normal estándar.

La fórmula del error de estimación es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que el error sea como máximo $1.5$, por lo que despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.05 \cdot 5}{1.5} \right)^2 = \left( \frac{10.25}{1.5} \right)^2 \approx (6.8333)^2 \approx 46.69$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser menor o igual a $1.5$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 47}$$