Optimización de dieta semanal mediante programación lineal

**a) (1 punto) Plantee el problema para obtener la combinación de ambos alimentos que tenga el coste mínimo.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades de cada alimento que la paciente debe consumir: - $x$: número de kg de lácteos. - $y$: número de kg de pescado. Ambas variables deben ser no negativas, ya que no se pueden consumir cantidades negativas de alimentos: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$

A continuación, identificamos la función que queremos minimizar (el coste total) y las restricciones impuestas por la dieta. **Función objetivo (Coste):** Cada kg de lácteos cuesta 6 € y cada kg de pescado cuesta 12 €. $$f(x, y) = 6x + 12y$$ **Restricciones:** 1. **Peso total:** No tomar más de 4 kg conjuntamente. $$x + y \le 4$$ 2. **Proteínas:** Aporte mínimo de 4 unidades (Lácteos dan 3, Pescado da 1). $$3x + y \ge 4$$ 3. **Calorías:** Aporte mínimo de 3 unidades (Lácteos dan 1, Pescado da 2). $$x + 2y \ge 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "no más de" significa $\le$ y "mínimo" significa $\ge$. ✅ **Planteamiento:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Minimizar } & f(x, y) = 6x + 12y \\ \text{Sujeto a: } & x + y \le 4 \\ & 3x + y \ge 4 \\ & x + 2y \ge 3 \\ & x \ge 0, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) (1.5 puntos) Dibuje la región factible y determine la solución óptima del problema.** Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano correspondiente. - $r_1: x + y = 4 \implies$ Pasa por $(0, 4)$ y $(4, 0)$. La región es la parte inferior. - $r_2: 3x + y = 4 \implies$ Pasa por $(0, 4)$ y $(4/3, 0)$. La región es la parte superior. - $r_3: x + 2y = 3 \implies$ Pasa por $(0, 1.5)$ y $(3, 0)$. La región es la parte superior. La **región factible** es el polígono convexo formado por la intersección de estos semiplanos en el primer cuadrante.

Los vértices de la región factible son los puntos de corte de las rectas que la limitan: 1. **Vértice A:** Intersección de $r_1$ y $r_2$. $$\begin{cases} x + y = 4 \\ 3x + y = 4 \end{cases} \implies 2x = 0 \implies x=0, y=4 \implies \mathbf{A(0, 4)}$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $r_2$ y $r_3$. $$\begin{cases} 3x + y = 4 \implies y = 4 - 3x \\ x + 2y = 3 \end{cases} \implies x + 2(4 - 3x) = 3 \implies -5x = -5 \implies x=1, y=1 \implies \mathbf{B(1, 1)}$$ 3. **Vértice C:** Intersección de $r_3$ con el eje $OX$ ($y=0$). $$x + 2(0) = 3 \implies x=3 \implies \mathbf{C(3, 0)}$$ 4. **Vértice D:** Intersección de $r_1$ con el eje $OX$ ($y=0$). $$x + 0 = 4 \implies x=4 \implies \mathbf{D(4, 0)}$$

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 6x + 12y$ en cada uno de los vértices para encontrar el coste mínimo: - $f(A) = f(0, 4) = 6(0) + 12(4) = 48$ € - $f(B) = f(1, 1) = 6(1) + 12(1) = 18$ € - $f(C) = f(3, 0) = 6(3) + 12(0) = 18$ € - $f(D) = f(4, 0) = 6(4) + 12(0) = 24$ € Observamos que el valor mínimo de 18 € se alcanza tanto en el punto **$B(1, 1)$** como en el **$C(3, 0)$**. Esto sucede porque la función objetivo es paralela a la restricción $x + 2y = 3$. Por tanto, cualquier punto situado en el segmento que une $B$ y $C$ es una solución óptima. 💡 **Tip:** Cuando dos vértices adyacentes dan el mismo valor óptimo, todos los puntos del segmento que los une también son soluciones óptimas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El coste mínimo es 18 € y se alcanza en cualquier punto del segmento entre (1, 1) y (3, 0)}}$$