Derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**Determine los valores que han de tomar $a$ y $b$ para que la función $f$ sea derivable en $x = 0$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Si una función presenta un salto o una discontinuidad, es imposible que tenga una derivada definida allí. La condición de continuidad en $x = 0$ exige que el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en el punto coincidan: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad (como ocurre en las funciones con picos).

Calculamos los límites laterales en $x = 0$ usando las ramas correspondientes de la función: 1. Límite por la izquierda ($x \lt 0$): $$\lim_{x \to 0^-} (x^2 - ax + 5) = 0^2 - a(0) + 5 = 5$$ 2. Límite por la derecha y valor en el punto ($x \ge 0$): $$\lim_{x \to 0^+} (-x^2 + b) = f(0) = -0^2 + b = b$$ Para que la función sea continua, igualamos ambos resultados: $$b = 5$$ ✅ **Condición de continuidad:** $$\boxed{b = 5}$$

Una vez asegurada la continuidad (con $b=5$), estudiamos la derivabilidad. Para ello, calculamos la derivada de la función en las regiones donde no hay duda ($x \neq 0$): Derivamos cada rama de forma independiente: - Para $x \lt 0$: $(x^2 - ax + 5)' = 2x - a$ - Para $x \gt 0$: $(-x^2 + 5)' = -2x$ La función derivada queda definida como: $$f'(x)=\begin{cases} 2x - a & \text{si } x \lt 0,\\ -2x & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al derivar una función a trozos para estudiar la derivabilidad en el punto de unión, no incluimos el signo igual en las desigualdades hasta haber comprobado que las derivadas laterales coinciden.

Para que $f$ sea derivable en $x = 0$, las **derivadas laterales** en ese punto deben existir y ser iguales: $$f'(0^-) = f'(0^+)$$ Calculamos los límites de la función derivada: 1. Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x - a) = 2(0) - a = -a$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (-2x) = -2(0) = 0$$ Igualamos ambas expresiones para evitar que exista un "punto anguloso" (pico): $$-a = 0 \implies a = 0$$ ✅ **Condición de derivabilidad:** $$\boxed{a = 0}$$

Para que la función $f$ sea derivable en $x = 0$, se deben cumplir simultáneamente las condiciones halladas: 1. Para que sea continua en $x = 0$, debe cumplirse que **$b = 5$**. 2. Para que, siendo continua, sea también derivable en $x = 0$, debe cumplirse que **$a = 0$**. Si estos valores se cumplen, la función y su derivada en $x=0$ quedarían perfectamente definidas y unidas sin saltos ni picos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 0, \quad b = 5}$$