Probabilidad de defectos en fabricación

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos defectos.** En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado y traducimos los porcentajes a probabilidades: - $E$: "La batidora tiene un defecto eléctrico". $P(E) = 4.5\% = 0.045$ - $M$: "La batidora tiene un defecto mecánico". $P(M) = 3.5\% = 0.035$ - $E \cap M$: "La batidora tiene ambos defectos". $P(E \cap M) = 1\% = 0.01$ Para visualizar mejor la situación, organizamos los datos en una **tabla de contingencia**. Completamos los huecos sabiendo que las filas y columnas deben sumar sus respectivos totales: $$\begin{array}{c|cc|c} & M & \bar{M} & \text{Total} \\ \hline E & 0.01 & 0.035 & 0.045 \\ \bar{E} & 0.025 & 0.93 & 0.955 \\ \hline \text{Total} & 0.035 & 0.965 & 1 \end{array}$$ Calculamos las intersecciones restando: - $P(E \cap \bar{M}) = P(E) - P(E \cap M) = 0.045 - 0.01 = 0.035$ - $P(\bar{E} \cap M) = P(M) - P(E \cap M) = 0.035 - 0.01 = 0.025$ - $P(\bar{E} \cap \bar{M}) = P(\bar{E}) - P(\bar{E} \cap M) = 0.955 - 0.025 = 0.93$ 💡 **Tip:** En probabilidad, el suceso "ninguno de los dos" se expresa como la intersección de los contrarios: $P(\bar{E} \cap \bar{M})$. Observando la tabla, la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos defectos es: $$P(\bar{E} \cap \bar{M}) = 0.93$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{E} \cap \bar{M}) = 0.93}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga un defecto mecánico sabiendo que tiene un defecto eléctrico.** Se nos pide la probabilidad de tener un defecto mecánico ($M$) condicionado a que ya sabemos que tiene un defecto eléctrico ($E$). Esto se escribe como $P(M|E)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(M|E) = \frac{P(M \cap E)}{P(E)}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(M|E) = \frac{0.01}{0.045}$$ Para simplificar la fracción, multiplicamos numerador y denominador por 1000: $$P(M|E) = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} \approx 0.2222$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ siempre lleva en el denominador la probabilidad del suceso que "ya sabemos" (la condición). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|E) = \frac{2}{9} \approx 0.2222}$$

**c) (0.5 puntos) Justifique si los sucesos “tener un defecto eléctrico” y “tener un defecto mecánico” son independientes. ¿Son incompatibles?** **1. Independencia:** Dos sucesos son independientes si $P(E \cap M) = P(E) \cdot P(M)$. - Tenemos que $P(E \cap M) = 0.01$. - Calculamos el producto: $P(E) \cdot P(M) = 0.045 \cdot 0.035 = 0.001575$. Como $0.01 \neq 0.001575$, los sucesos **no son independientes**. **2. Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si $P(E \cap M) = 0$. - En este caso, $P(E \cap M) = 0.01$. Como la probabilidad de la intersección es distinta de cero, los sucesos **no son incompatibles** (son compatibles). 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, el hecho de que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro. Si son incompatibles, si ocurre uno es imposible que ocurra el otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes y no son incompatibles}}$$