Contraste de hipótesis para la proporción

**a) (1.5 puntos) ¿Podemos afirmar con estos datos y con un nivel de significación del 5% que al menos el 25% de toda la población usa esa marca de ropa?** Primero, identificamos los datos del problema: - Tamaño de la muestra: $n = 950$ - Número de éxitos (usan la marca): $x = 215$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{x}{n} = \dfrac{215}{950} \approx 0.2263$ - Proporción poblacional bajo estudio: $p_0 = 0.25$ El enunciado nos da directamente el contraste de hipótesis: $$H_0: p \ge 0.25 \quad (\text{Hipótesis nula: Al menos el 25%})$$ $$H_1: p \lt 0.25 \quad (\text{Hipótesis alternativa})$$ Se trata de un **contraste unilateral izquierdo**, ya que la región de rechazo se encuentra en la cola inferior de la distribución. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele contener el signo de igualdad ($=$, $\ge$ o $\le$). Si los datos muestrales están muy alejados del valor propuesto hacia la izquierda, rechazaremos $H_0$.

Para muestras grandes ($n \ge 30$ y $np, nq \ge 5$), la proporción muestral $\hat{p}$ se aproxima a una distribución Normal. Calculamos el estadístico de contraste $Z$ usando la fórmula: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Donde $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0.25 = 0.75$. Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.2263 - 0.25}{\sqrt{\dfrac{0.25 \cdot 0.75}{950}}} = \frac{-0.0237}{\sqrt{\dfrac{0.1875}{950}}} = \frac{-0.0237}{0.01405} \approx -1.687$$ El valor del estadístico observado es **$Z_{obs} \approx -1.687$**. 💡 **Tip:** El estadístico $Z$ nos dice a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra muestra del valor que suponemos en la hipótesis nula.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $p(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$. Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.05 = 0.95 \implies z_{\alpha} = 1.645$$ Por tanto, el valor crítico es **$-1.645$**. La región de rechazo es $(-\infty, -1.645)$. Comparamos nuestro estadístico: Como $Z_{obs} = -1.687 \lt -1.645$, el valor cae dentro de la zona de rechazo. **Conclusión:** Rechazamos $H_0$. No hay evidencia suficiente para afirmar que al menos el 25% usa la marca. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede afirmar al 5% de significación}}$$

**b) (1 punto) ¿Y con un nivel de significación del 1%?** Ahora cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.01$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $p(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.01$. Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.01 = 0.99 \implies z_{\alpha} = 2.33$$ El nuevo valor crítico es **$-2.33$**. La región de rechazo es $(-\infty, -2.33)$. Comparamos nuestro estadístico (que sigue siendo el mismo): Como $Z_{obs} = -1.687 \gt -2.33$, el valor **no cae** en la zona de rechazo. **Conclusión:** No rechazamos $H_0$. Al ser el nivel de exigencia mayor (1%), los datos no son lo suficientemente extremos como para descartar que la proporción sea del 25%. 💡 **Tip:** Al disminuir $\alpha$ (de 5% a 1%), la región de rechazo se hace más pequeña, lo que hace más difícil rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se puede afirmar al 1% de significación}}$$