Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.75 puntos) Represente gráficamente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices: $x + 2y \le 3, \quad x - y \le 1, \quad x \ge -1, \quad y \ge 0$.** Para representar la región, primero convertimos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto: 1. $r_1: x + 2y = 3 \implies$ Pasa por $(3, 0)$ y $(1, 1)$. 2. $r_2: x - y = 1 \implies$ Pasa por $(1, 0)$ y $(0, -1)$. 3. $r_3: x = -1 \implies$ Recta vertical. 4. $r_4: y = 0 \implies$ Eje $X$ (recta horizontal). 💡 **Tip:** Para dibujar una recta basta con dar dos valores a la $x$ y obtener su correspondiente $y$.

Para cada inecuación, comprobamos un punto (normalmente el $(0,0)$ si no pasa por él) para saber qué semiplano elegir: - $0 + 2(0) \le 3 \implies 0 \le 3$ (Verdadero, incluye al origen). - $0 - 0 \le 1 \implies 0 \le 1$ (Verdadero, incluye al origen). - $x \ge -1$ (Hacia la derecha de la recta vertical $x = -1$). - $y \ge 0$ (Hacia arriba, primer y segundo cuadrante). La región factible es el polígono resultante de la intersección de estos semiplanos.

Calculamos los puntos de corte de las rectas resolviendo los sistemas correspondientes: - **Vértice $A$** (Cruce de $x = -1$ y $y = 0$): $$\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases} \implies \mathbf{A(-1, 0)}$$ - **Vértice $B$** (Cruce de $x - y = 1$ y $y = 0$): $$\begin{cases} x - y = 1 \\ y = 0 \end{cases} \implies x - 0 = 1 \implies \mathbf{B(1, 0)}$$ - **Vértice $C$** (Cruce de $x + 2y = 3$ y $x - y = 1$): Sumamos la primera y multiplicamos por 2 la segunda: $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases} \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$$ Sustituyendo en $x - y = 1$: $\frac{5}{3} - y = 1 \implies y = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$. $$\mathbf{C\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)}$$ - **Vértice $D$** (Cruce de $x + 2y = 3$ y $x = -1$): $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x = -1 \end{cases} \implies -1 + 2y = 3 \implies 2y = 4 \implies y = 2$$ $$\mathbf{D(-1, 2)}$$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(-1, 0), \quad B(1, 0), \quad C\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right), \quad D(-1, 2)}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo $F(x, y) = 2x + 4y$ en la región anterior y los puntos donde se alcanzan.** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 2x + 4y$ en cada uno de los vértices calculados: - En $A(-1, 0)$: $F(-1, 0) = 2(-1) + 4(0) = -2$ - En $B(1, 0)$: $F(1, 0) = 2(1) + 4(0) = 2$ - En $C\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$: $F\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{5}{3}\right) + 4\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{3} + \frac{8}{3} = \frac{18}{3} = 6$ - En $D(-1, 2)$: $F(-1, 2) = 2(-1) + 4(2) = -2 + 8 = 6$ $$\begin{array}{c|c} \text{Vértice } (x, y) & F(x, y) = 2x + 4y \\\hline A(-1, 0) & -2 \\ B(1, 0) & 2 \\ C\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right) & 6 \\ D(-1, 2) & 6 \end{array}$$ Observamos que el valor máximo se repite en dos vértices adyacentes ($C$ y $D$). Esto significa que el máximo se alcanza en todos los puntos del segmento que une dichos vértices. 💡 **Tip:** Si el valor óptimo se alcanza en dos vértices, entonces se alcanza en todo el segmento que los une porque la función objetivo es paralela a uno de los lados de la región.

A partir de los cálculos anteriores: - El **valor mínimo** es **$-2$** y se alcanza en el punto **$A(-1, 0)$**. - El **valor máximo** es **$6$** y se alcanza en cualquier punto del **segmento que une $C\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$ y $D(-1, 2)$**. ✅ **Resultado (Optimización):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Mínimo: } -2 \text{ en } (-1, 0) \\ &\text{Máximo: } 6 \text{ en el segmento } \overline{CD} \end{aligned}}$$