Continuidad, derivabilidad y parámetros. Recta tangente

**a) (1.5 puntos) Determine los valores de $a$ y $b$, sabiendo que dicha función es derivable.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. El único punto donde la función podría presentar problemas es en el salto entre ramas, $x = 2$. Para que $f$ sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1) $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 + ax) = 2^2 + 2a = 4 + 2a$ 2) $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x + b}{x - 1} = \frac{2 + b}{2 - 1} = 2 + b$ 3) $f(2) = 4 + 2a$ Igualamos los límites laterales para garantizar la continuidad: $$4 + 2a = 2 + b \implies 2a - b = -2 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad.

Calculamos la derivada de la función en cada rama (excepto en el punto de unión $x = 2$ por ahora): Para $x < 2$: $$f'(x) = (x^2 + ax)' = 2x + a$$ Para $x > 2$: Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x + b) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - b}{(x - 1)^2} = \frac{-1 - b}{(x - 1)^2}$$ Por tanto, la función derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x \lt 2 \\ \frac{-1 - b}{(x - 1)^2} & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$

Para que $f$ sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1) $f'(2^-) = \lim_{x \to 2^-} (2x + a) = 2(2) + a = 4 + a$ 2) $f'(2^+) = \lim_{x \to 2^+} \frac{-1 - b}{(x - 1)^2} = \frac{-1 - b}{(2 - 1)^2} = -1 - b$ Igualamos ambas expresiones: $$4 + a = -1 - b \implies a + b = -5 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** No olvides derivar correctamente la segunda rama usando la regla del cociente; es un error común olvidarse del denominador al cuadrado.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 2a - b = -2 \\ a + b = -5 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la variable $b$: $$(2a - b) + (a + b) = -2 + (-5)$$ $$3a = -7 \implies a = -\frac{7}{3}$$ Sustituimos el valor de $a$ en la segunda ecuación: $$-\frac{7}{3} + b = -5 \implies b = -5 + \frac{7}{3} = \frac{-15 + 7}{3} = -\frac{8}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -\frac{7}{3}, \quad b = -\frac{8}{3}}$$

**b) (1 punto) Para $a = 2$ y $b = 3$, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Como $x = 1 \le 2$, utilizamos la primera rama de la función con $a = 2$: $$f(x) = x^2 + 2x$$ Necesitamos el punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$ y la pendiente $m = f'(x_0)$. 1) **Punto de tangencia:** $$x_0 = 1 \implies f(1) = 1^2 + 2(1) = 3 \implies \text{Punto: } (1, 3)$$ 2) **Pendiente de la recta:** Calculamos la derivada de la primera rama: $$f'(x) = 2x + 2$$ $$m = f'(1) = 2(1) + 2 = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente viene dada por $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula punto-pendiente: $$y - 3 = 4(x - 1)$$ $$y - 3 = 4x - 4$$ $$y = 4x - 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 4x - 1}$$