Probabilidad y Estadística 2014 Andalucia
Probabilidad Total y Teorema de Bayes: Reparación de cámaras
EJERCICIO 3
En un servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se reciben son del modelo A y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A son reparadas, mientras que del modelo B sólo se reparan el 80%. Si se elige una cámara al azar:
a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que no se haya podido reparar.
b) (1.25 puntos) Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que no se haya podido reparar.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: La cámara recibida es del modelo $A$.
- $B$: La cámara recibida es del modelo $B$.
- $R$: La cámara es reparada.
- $\bar{R}$: La cámara no es reparada.
A partir de los datos del enunciado, conocemos las siguientes probabilidades:
- $P(A) = 0.70$ (el 70% son modelo A).
- $P(B) = 1 - 0.70 = 0.30$ (el resto son modelo B).
- $P(R|A) = 0.95$ (probabilidad de reparar si es del modelo A).
- $P(\bar{R}|A) = 1 - 0.95 = 0.05$ (probabilidad de no reparar si es del modelo A).
- $P(R|B) = 0.80$ (probabilidad de reparar si es del modelo B).
- $P(\bar{R}|B) = 1 - 0.80 = 0.20$ (probabilidad de no reparar si es del modelo B).
Representamos esta información mediante un **árbol de probabilidad**:
💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo, la suma de las probabilidades de las ramas que salen debe ser igual a 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no reparación
Para calcular la probabilidad de que una cámara elegida al azar no haya sido reparada, $P(\bar{R})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Sumamos las probabilidades de todos los caminos que terminan en "No reparada" ($\bar{R}$):
$$P(\bar{R}) = P(A) \cdot P(\bar{R}|A) + P(B) \cdot P(\bar{R}|B)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(\bar{R}) = 0.70 \cdot 0.05 + 0.30 \cdot 0.20$$
$$P(\bar{R}) = 0.035 + 0.06 = 0.095$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varias causas o categorías excluyentes (en este caso, ser del modelo A o B).
✅ **Resultado (a):**
$$\boxed{P(\bar{R}) = 0.095}$$
(También expresable como 9.5%)
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) (1.25 puntos) Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?**
En este apartado se nos pide una probabilidad a posteriori: sabiendo que la cámara no ha sido reparada (condición), ¿cuál es la probabilidad de que provenga del modelo B? Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(B|\bar{R}) = \frac{P(B \cap \bar{R})}{P(\bar{R})} = \frac{P(B) \cdot P(\bar{R}|B)}{P(\bar{R})}$$
Utilizamos los valores que ya conocemos:
- $P(B) \cdot P(\bar{R}|B) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06$ (probabilidad de que sea del modelo B y no se repare).
- $P(\bar{R}) = 0.095$ (calculado en el apartado anterior).
Sustituimos:
$$P(B|\bar{R}) = \frac{0.06}{0.095} = \frac{60}{95} = \frac{12}{19}$$
Calculando el valor decimal:
$$P(B|\bar{R}) \approx 0.6316$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "volver atrás" en el árbol, calculando la probabilidad de una causa dado un efecto observado.
✅ **Resultado (b):**
$$\boxed{P(B|\bar{R}) = \frac{12}{19} \approx 0.6316}$$