Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para estimar el precio medio del litro de gasolina.** Primero, extraemos la información del enunciado y calculamos la media de los precios de las 9 estaciones de servicio: - Tamaño de la muestra: $n = 9$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.18$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ (lo que implica $\alpha = 0.05$) Calculamos la media muestral $\bar{x}$ sumando todos los valores y dividiendo por $n$: $$\bar{x} = \frac{1.3 + 1.2 + 1.4 + 1.27 + 1.25 + 1.32 + 1.37 + 1.38 + 1.23}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{11.72}{9} \approx 1.3022 \text{ euros}$$ 💡 **Tip:** En estadística, la media muestral $\bar{x}$ es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que el área central bajo la curva Normal estándar sea $0.95$. Si el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$, entonces: - $\alpha = 0.05$ - $\alpha/2 = 0.025$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ que deje a su izquierda una probabilidad de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ ($90\%$), $1.96$ ($95\%$) y $2.575$ ($99\%$).

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{0.18}{\sqrt{9}} = 1.96 \cdot \frac{0.18}{3} = 1.96 \cdot 0.06 = 0.1176$$ Ahora aplicamos los límites: - Límite inferior: $1.3022 - 0.1176 = 1.1846$ - Límite superior: $1.3022 + 0.1176 = 1.4198$ ✅ **Resultado del intervalo de confianza:** $$\boxed{IC = (1.1846, 1.4198)}$$

**b) (1 punto) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el precio medio del litro de gasolina con un error no superior a 0.08 euros, con el mismo nivel de confianza.** Nos piden hallar $n$ sabiendo que: - Error máximo: $E \le 0.08$ - Nivel de confianza: $95\%$ (por tanto, usamos el mismo $z_{\alpha/2} = 1.96$) - Desviación típica: $\sigma = 0.18$ Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 0.18}{0.08} \right)^2 = \left( \frac{0.3528}{0.08} \right)^2 = (4.41)^2 = 19.4481$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **no superior** a $0.08$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado del tamaño muestral:** $$\boxed{n = 20 \text{ estaciones de servicio}}$$