Optimización de la audiencia de un programa de radio

**a) (0.5 puntos) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?** El programa comienza a las $t=6$ horas y termina a las $t=12$ horas. Para hallar el porcentaje de audiencia en esos momentos, simplemente evaluamos la función $S(t)$ en dichos puntos. **Al comenzar la emisión ($t=6$):** $$S(6) = 660 - 231(6) + 27(6^2) - (6^3)$$ $$S(6) = 660 - 1386 + 27(36) - 216$$ $$S(6) = 660 - 1386 + 972 - 216 = 30$$ **Al cierre de la emisión ($t=12$):** $$S(12) = 660 - 231(12) + 27(12^2) - (12^3)$$ $$S(12) = 660 - 2772 + 27(144) - 1728$$ $$S(12) = 660 - 2772 + 3888 - 1728 = 48$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al evaluar potencias, primero se calcula el exponente y luego la multiplicación por el coeficiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al inicio (6h): } 30\% \quad \text{Al cierre (12h): } 48\%}$$

**b) (2 puntos) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas?** Para encontrar los máximos y mínimos, calculamos la primera derivada de la función $S(t) = 660 - 231t + 27t^2 - t^3$: $$S'(t) = -231 + 54t - 3t^2$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-3t^2 + 54t - 231 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por $-3$: $$t^2 - 18t + 77 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4(1)(77)}}{2(1)}$$ $$t = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 308}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{18 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos valores de $t$: $$t_1 = \frac{18 + 4}{2} = 11, \quad t_2 = \frac{18 - 4}{2} = 7$$ Ambos valores, **$t=7$** y **$t=11$**, están dentro del intervalo de emisión $[6, 12]$. $$\boxed{t = 7, \quad t = 11}$$

Analizamos el signo de la derivada $S'(t)$ en los intervalos determinados por los puntos críticos dentro del dominio $[6, 12]$. **Tabla de signos de $S'(t)$:** $$ \begin{array}{c|ccccc} t & (6,7) & 7 & (7,11) & 11 & (11,12) \\ \hline S'(t) & - & 0 & + & 0 & - \\ S(t) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array} $$ - En $(6, 7)$, tomamos $t=6.5$: $S'(6.5) = -3(6.5)^2 + 54(6.5) - 231 = -6.75 < 0$ (**decrece**). - En $(7, 11)$, tomamos $t=9$: $S'(9) = -3(81) + 54(9) - 231 = 12 > 0$ (**crece**). - En $(11, 12)$, tomamos $t=11.5$: $S'(11.5) = -3(11.5)^2 + 54(11.5) - 231 = -6.75 < 0$ (**decrece**). 💡 **Tip:** Un punto es un mínimo relativo si la función pasa de decrecer a crecer, y un máximo relativo si pasa de crecer a decrecer. Al ser un intervalo cerrado, debemos comparar estos con los valores en los extremos del dominio. Por la tabla: - Hay un **mínimo relativo** en $t=7$. - Hay un **máximo relativo** en $t=11$.

Calculamos el porcentaje de audiencia en los puntos críticos y comparamos con los valores de los extremos (calculados en el apartado a) para determinar el máximo y mínimo absoluto. **Audiencia a las 7 horas ($t=7$):** $$S(7) = 660 - 231(7) + 27(7^2) - 7^3$$ $$S(7) = 660 - 1617 + 1323 - 343 = 23$$ **Audiencia a las 11 horas ($t=11$):** $$S(11) = 660 - 231(11) + 27(11^2) - 11^3$$ $$S(11) = 660 - 2541 + 3267 - 1331 = 55$$ Comparando todos los valores en el intervalo $[6, 12]$: - $S(6) = 30$ - $S(7) = 23$ (Mínimo absoluto) - $S(11) = 55$ (Máximo absoluto) - $S(12) = 48$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máxima audiencia: 55\% a las 11:00 horas.}}$$ $$\boxed{\text{Mínima audiencia: 23\% a las 07:00 horas.}}$$