Probabilidad condicionada e independencia en conjuntos discretos

Para resolver este tipo de problemas de probabilidad, lo primero es identificar el número total de elementos en el conjunto, lo que conocemos como casos posibles. El conjunto dado es: $$\Omega = \{225, 201, 162, 210, 180, 172, 156, 193, 218, 167, 176, 222, 215, 120, 190, 171\}$$ Contamos los elementos: $$\text{Número total de casos (n)} = 16$$ 💡 **Tip:** En probabilidad clásica, cuando todos los resultados son igualmente probables, aplicamos la Regla de Laplace: $P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$.

**a) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que el número elegido sea impar.** Buscamos los números impares dentro del conjunto (aquellos que terminan en 1, 3, 5, 7 o 9): $$\text{Impares} = \{225, 201, 193, 167, 215, 171\}$$ Contamos los casos favorables: $$\text{Casos favorables} = 6$$ Aplicamos la regla de Laplace: $$P(\text{impar}) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0.375$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{impar}) = 0.375}$$

**b) (0.75 puntos) Si el número elegido es múltiplo de 5, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 200?** Este es un problema de **probabilidad condicionada**. Definimos los sucesos: - $M$: "El número es múltiplo de 5" (termina en 0 o 5). - $S$: "El número es mayor que 200". Identificamos los elementos de $M$: $$M = \{225, 210, 180, 215, 120, 190\} \implies n(M) = 6$$ Ahora, de esos múltiplos de 5, identificamos cuáles son mayores que 200 (suceso $S \cap M$): $$S \cap M = \{225, 210, 215\} \implies n(S \cap M) = 3$$ La probabilidad condicionada es: $$P(S|M) = \frac{n(S \cap M)}{n(M)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de $A$ condicionado a $B$ se calcula limitando nuestro "mundo" o espacio muestral solo a los elementos que cumplen $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S|M) = 0.5}$$

**c) (0.75 puntos) Determine si son independientes los sucesos $S$: “el número elegido es mayor que 200” y $T$: “el número elegido es par”.** Para comprobar la independencia, debemos verificar si se cumple que: $$P(S \cap T) = P(S) \cdot P(T)$$ Primero, clasificamos los 16 números en una tabla de contingencia: - $S$ (>200): 225, 201, 210, 218, 222, 215 ($n=6$) - $T$ (par): 162, 210, 180, 172, 156, 218, 176, 222, 120, 190 ($n=10$) - $S \cap T$ (>200 y par): 210, 218, 222 ($n=3$) $$\begin{array}{c|cc|c} & S (>200) & \bar{S} (\le 200) & \text{Total} \\ \hline T (\text{par}) & 3 & 7 & 10 \\ \bar{T} (\text{impar}) & 3 & 3 & 6 \\ \hline \text{Total} & 6 & 10 & 16 \end{array}$$ Calculamos las probabilidades: - $P(S) = \frac{6}{16} = 0.375$ - $P(T) = \frac{10}{16} = 0.625$ - $P(S \cap T) = \frac{3}{16} = 0.1875$ Comprobamos el producto: $$P(S) \cdot P(T) = 0.375 \cdot 0.625 = 0.234375$$ Como $0.1875 \neq 0.234375$, los sucesos **no son independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } S \text{ y } T \text{ son dependientes}}$$

**d) (0.5 puntos) Halle la probabilidad del suceso $S \cup T$.** Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(S \cup T) = P(S) + P(T) - P(S \cap T)$$ Utilizando los valores obtenidos en el apartado anterior: - $P(S) = \frac{6}{16}$ - $P(T) = \frac{10}{16}$ - $P(S \cap T) = \frac{3}{16}$ Sustituimos en la fórmula: $$P(S \cup T) = \frac{6}{16} + \frac{10}{16} - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$$ En formato decimal: $$P(S \cup T) = 0.8125$$ 💡 **Tip:** Restamos la intersección porque al sumar $P(S)$ y $P(T)$, los elementos que están en ambos conjuntos se han contado dos veces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \cup T) = 0.8125}$$