Muestreo estratificado y parámetros poblacionales

**a) (0.75 puntos) Se desea seleccionar una muestra de 60 alumnos, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional al número de los alumnos de cada idioma. ¿Cómo debería estar conformada la muestra?** Primero, identificamos la proporción (o peso) de cada idioma en la población total. El enunciado nos da los datos de los idiomas A y B, y nos dice que el resto estudia C. - Proporción de A: $P_A = \dfrac{1}{3}$ - Proporción de B: $P_B = \dfrac{1}{2}$ - Proporción de C: Para calcularla, restamos a la unidad las otras dos partes: $$P_C = 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = 1 - \left( \frac{2+3}{6} \right) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$$ 💡 **Tip:** En el muestreo estratificado con **afijación proporcional**, el número de elementos de cada estrato en la muestra ($n_i$) debe ser proporcional al tamaño del estrato en la población ($N_i$), es decir: $n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$ o $n_i = n \cdot P_i$.

Sabiendo que el tamaño total de la muestra es $n = 60$, aplicamos las proporciones calculadas para cada idioma: - Alumnos de idioma A: $n_A = 60 \cdot \dfrac{1}{3} = 20$ - Alumnos de idioma B: $n_B = 60 \cdot \dfrac{1}{2} = 30$ - Alumnos de idioma C: $n_C = 60 \cdot \dfrac{1}{6} = 10$ Comprobamos que la suma sea correcta: $20 + 30 + 10 = 60$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La muestra debe tener 20 alumnos de A, 30 de B y 10 de C}}$$

**b) (0.75 puntos) En otra muestra seleccionada por el procedimiento anterior, el número de alumnos tomados del idioma A es 14. Determine cuántos se han elegido de los otros dos idiomas.** Si el número de alumnos del idioma A es $n_A = 14$, y sabemos que este representa $\frac{1}{3}$ del total de la muestra ($n$), podemos hallar $n$: $$n_A = n \cdot P_A \implies 14 = n \cdot \frac{1}{3} \implies n = 14 \cdot 3 = 42$$ Ahora calculamos el número de alumnos para los idiomas B y C con este nuevo tamaño de muestra $n = 42$: - Alumnos de idioma B: $n_B = 42 \cdot \dfrac{1}{2} = 21$ - Alumnos de idioma C: $n_C = 42 \cdot \dfrac{1}{6} = 7$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se han elegido 21 alumnos del idioma B y 7 del idioma C}}$$

**2) (1 punto) Una población tiene 5 elementos. Mediante muestreo aleatorio simple se seleccionan muestras de tamaño 3, siendo la desviación típica de sus medias 2 y la media de las medias muestrales 7. ¿Cuánto valen la media y la varianza de la población?** Para resolver este apartado, recordamos las propiedades de la distribución de las medias muestrales. La **media de las medias muestrales** (esperanza de la media muestral) es siempre igual a la **media poblacional** ($\mu$). $$\mu = \mu_{\bar{x}}$$ Dado que el enunciado indica que la media de las medias muestrales es 7: $$\mu = 7$$ ✅ **Resultado (media):** $$\boxed{\mu = 7}$$

Para la varianza, debemos tener en cuenta que la población es finita ($N = 5$) y la muestra es de tamaño $n = 3$. En el muestreo aleatorio simple (sin reposición) de poblaciones finitas, la varianza de la media muestral $\sigma_{\bar{x}}^2$ se calcula mediante la fórmula con el factor de corrección: $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{N - n}{N - 1}$$ Donde: - $\sigma_{\bar{x}}$ es la desviación típica de las medias, que es 2. Por tanto, $\sigma_{\bar{x}}^2 = 2^2 = 4$. - $N = 5$ - $n = 3$ - $\sigma^2$ es la varianza poblacional que queremos hallar. Sustituimos los valores: $$4 = \frac{\sigma^2}{3} \cdot \frac{5 - 3}{5 - 1}$$ $$4 = \frac{\sigma^2}{3} \cdot \frac{2}{4}$$ $$4 = \frac{\sigma^2}{3} \cdot \frac{1}{2}$$ $$4 = \frac{\sigma^2}{6}$$ Despejamos la varianza: $$\sigma^2 = 4 \cdot 6 = 24$$ 💡 **Tip:** Cuando la población es muy pequeña ($N$ es finito y cercano a $n$), es fundamental aplicar el factor de corrección para poblaciones finitas $\frac{N-n}{N-1}$ si el muestreo es sin reposición. ✅ **Resultado (varianza):** $$\boxed{\sigma^2 = 24}$$