Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1.25 puntos) Calcule el valor del parámetro $a$ para que se verifique $(B \cdot A)^t = A \cdot B^t$.** En primer lugar, calculamos el producto $B \cdot A$. La matriz $B$ es de dimensión $1 \times 2$ y la matriz $A$ es de $2 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz $1 \times 2$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 & (-1) \cdot a + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -a+1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la transpuesta de este resultado, $(B \cdot A)^t$, que consistirá en convertir la fila en una columna (dimensión $2 \times 1$): $$(B \cdot A)^t = \begin{pmatrix} -1 \\ 1-a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Calculamos ahora el segundo miembro de la ecuación, $A \cdot B^t$. Primero obtenemos $B^t$ transponiendo la matriz fila $B$: $$B^t = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto: $$A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + a \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+a \\ 1 \end{pmatrix}$$ Para que se cumpla la igualdad $(B \cdot A)^t = A \cdot B^t$, ambas matrices resultantes deben ser iguales elemento a elemento: $$\begin{pmatrix} -1 \\ 1-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+a \\ 1 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} -1 = -1+a \\ 1-a = 1 \end{cases}$$ De ambas ecuaciones obtenemos que: $$a = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**b) (1.25 puntos) Para $a = 2$, resuelva la ecuación matricial $X \cdot A = B$.** Sustituimos el valor $a = 2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La ecuación a resolver es $X \cdot A = B$. Como la matriz $A$ es una matriz cuadrada, podemos intentar despejar $X$ multiplicando por la inversa de $A$ ($A^{-1}$) por la derecha: $$X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1}$$ Para que $A^{-1}$ exista, su determinante debe ser distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (2 \cdot 0) = 1 \neq 0$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales del tipo $X \cdot A = B$, para despejar $X$ multiplicamos por la inversa por la derecha. Si fuera $A \cdot X = B$, multiplicaríamos por la izquierda.

Calculamos la matriz inversa $A^{-1}$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Transpuesta de la adjunta $\text{Adj}(A)^t$: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa de $A$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ como $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando $B$ por $A^{-1}$: $$X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 & (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 3 \end{pmatrix}}$$