Estudio de una función polinómica: monotonía, curvatura y gráfica

**a) (1 punto) Estudie la monotonía de $f$ y halle los extremos relativos que posea.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función, primero calculamos su primera derivada $f'(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos. Dada $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$, derivamos término a término: $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$$ Ahora resolvemos $f'(x) = 0$: $$3x^2 - 6x + 3 = 0$$ Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación entre $3$: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ Esta es una identidad notable: $(x - 1)^2 = 0$. Por tanto, el único punto crítico es: $$x = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar potencias usamos $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Los puntos donde $f'(x)=0$ son candidatos a ser máximos o mínimos relativos. $$\boxed{f'(x) = 3x^2 - 6x + 3, \quad \text{Punto crítico: } x = 1}$$

Para determinar la monotonía, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x=1$: Observamos que $f'(x) = 3(x-1)^2$. Dado que cualquier número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero, $f'(x) \ge 0$ para cualquier valor de $x$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Punto inflexión horiz.} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, elegimos $x=0$: $f'(0) = 3(0-1)^2 = 3 \gt 0$. La función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, elegimos $x=2$: $f'(2) = 3(2-1)^2 = 3 \gt 0$. La función es **creciente**. Como la función es creciente antes y después de $x=1$, no hay cambio de signo en la derivada. Por lo tanto, **no existen máximos ni mínimos relativos**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } \mathbb{R}. \text{ No tiene extremos relativos.}}$$

**b) (0.75 puntos) Estudie su curvatura y calcule su punto de inflexión.** Para estudiar la curvatura (concavidad y convexidad), calculamos la segunda derivada $f''(x)$ a partir de $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$: $$f''(x) = 6x - 6$$ Igualamos a cero para encontrar los posibles puntos de inflexión: $$6x - 6 = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados de $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P. Inflexión} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ - Si $x \lt 1$, $f''(x) \lt 0$, la función es **cóncava** (hacia abajo). - Si $x \gt 1$, $f''(x) \gt 0$, la función es **convexa** (hacia arriba). 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de curvatura y la segunda derivada es cero o no existe. $$\boxed{x=1 \text{ es un candidato a punto de inflexión}}$$

Como hay un cambio de curvatura en $x=1$, confirmamos que es un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada sustituyendo en la función original $f(x)$: $$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1$$ El punto de inflexión es $(1, 1)$. Además, como vimos en el apartado anterior que $f'(1)=0$, en este punto la recta tangente es horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión: } I(1, 1)}$$

**c) (0.75 puntos) Represente la gráfica de la función $f$.** Para representar la gráfica, utilizamos la información obtenida: 1. Puntos de corte con los ejes: - Eje Y: $f(0) = 0 \implies (0, 0)$. - Eje X: $x^3 - 3x^2 + 3x = 0 \implies x(x^2 - 3x + 3) = 0$. La ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales (discriminante $D = 9 - 12 = -3 \lt 0$), por lo que solo corta en $(0, 0)$. 2. La función siempre crece. 3. Tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en $(1, 1)$. 4. Comportamiento en el infinito: - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ Podemos calcular algún punto adicional como $f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 3(2) = 8 - 12 + 6 = 2$. Punto $(2, 2)$. ✅ **Gráfica:**