Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para la proporción de balances incorrectos.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 200$ - Número de balances incorrectos: $x = 19$ Calculamos la **proporción muestral** ($\hat{p}$), que es nuestro estimador puntual: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{19}{200} = 0.095$$ Calculamos también el complementario (proporción de balances correctos): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.095 = 0.905$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, recuerda que $\hat{p} + \hat{q} = 1$. Trabajar con 3 o 4 decimales suele ser suficiente para mantener la precisión.

Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor de $\alpha/2$: $$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: $90\% \to 1.645$, $95\% \to 1.96$ y $99\% \to 2.575$.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.095 \cdot 0.905}{200}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.085975}{200}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.000429875} \approx 1.96 \cdot 0.02073 \approx 0.0406$$ El intervalo de confianza se define como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.095 - 0.0406 = 0.0544$ - Límite superior: $0.095 + 0.0406 = 0.1356$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.0544, 0.1356)}$$

**b) (1 punto) ¿Cuántos balances se deberán seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0.02?** Ahora cambiamos el nivel de confianza al $99\%$, por lo que $1 - \alpha = 0.99$. Calculamos el nuevo valor crítico: $$\alpha = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ En las tablas de la normal, el valor $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Si tu profesor prefiere redondear, puedes usar $2.58$, aunque $2.575$ es más preciso.

Queremos que el error $E$ sea como máximo $0.02$. Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Utilizamos la proporción del apartado anterior como estimación ($\hat{p} = 0.095$): $$n = \frac{(2.575)^2 \cdot 0.095 \cdot 0.905}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{6.630625 \cdot 0.085975}{0.0004} = \frac{0.570068}{0.0004} \approx 1425.17$$ Como el número de balances debe ser entero y el error no debe superar el $0.02$, siempre **redondeamos al siguiente número entero**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1426 \text{ balances}}$$