Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1 punto) Represente la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: $2x + 5y \le 15, \quad x + y \le 5, \quad 6x - 7y \le 42, \quad x \ge 0$.** Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas para hallar sus límites: 1. **Recta $r_1$:** $2x + 5y = 15$. Buscamos dos puntos: - Si $x=0 \Rightarrow 5y=15 \Rightarrow y=3$. Punto $(0, 3)$. - Si $y=0 \Rightarrow 2x=15 \Rightarrow x=7.5$. Punto $(7.5, 0)$. 2. **Recta $r_2$:** $x + y = 5$. Buscamos dos puntos: - Si $x=0 \Rightarrow y=5$. Punto $(0, 5)$. - Si $y=0 \Rightarrow x=5$. Punto $(5, 0)$. 3. **Recta $r_3$:** $6x - 7y = 42$. Buscamos dos puntos: - Si $x=0 \Rightarrow -7y=42 \Rightarrow y=-6$. Punto $(0, -6)$. - Si $y=0 \Rightarrow 6x=42 \Rightarrow x=7$. Punto $(7, 0)$. 4. **Recta $r_4$:** $x = 0$. Es el propio eje de ordenadas ($Y$). 💡 **Tip:** Para saber qué semiplano elegir en una inecuación, prueba con el punto $(0,0)$. Por ejemplo, en $2x+5y \le 15$, sustituimos: $2(0)+5(0) = 0 \le 15$. Como es cierto, el semiplano es el que contiene al origen.

La región factible es la zona del plano que cumple todas las condiciones a la vez. En este caso, al ser $x \ge 0$, nos limitamos al lado derecho del eje $Y$. La intersección de los semiplanos genera un polígono cerrado. $$\boxed{\text{Gráfico de la región factible}}$$ (Ver el gráfico interactivo a continuación)

**b) (1 punto) Halle los vértices de la región anterior.** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice A (Corte $r_1$ con $x=0$):** $$2(0) + 5y = 15 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \mathbf{A(0, 3)}$$ - **Vértice B (Corte $r_1$ con $r_2$):** $$\begin{cases} 2x + 5y = 15 \\ x + y = 5 \rightarrow x = 5-y \end{cases}$$ Sustituimos: $2(5-y) + 5y = 15 \Rightarrow 10 - 2y + 5y = 15 \Rightarrow 3y = 5 \Rightarrow y = 5/3$. $x = 5 - 5/3 = 10/3 \Rightarrow \mathbf{B(10/3, 5/3)}$ - **Vértice C (Corte $r_2$ con $r_3$):** $$\begin{cases} x + y = 5 \rightarrow y = 5-x \\ 6x - 7y = 42 \end{cases}$$ Sustituimos: $6x - 7(5-x) = 42 \Rightarrow 6x - 35 + 7x = 42 \Rightarrow 13x = 77 \Rightarrow x = 77/13$. $y = 5 - 77/13 = (65-77)/13 = -12/13 \Rightarrow \mathbf{C(77/13, -12/13)}$ - **Vértice D (Corte $r_3$ con $x=0$):** $$6(0) - 7y = 42 \Rightarrow y = -6 \Rightarrow \mathbf{D(0, -6)}$$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(0, 3), \quad B\left(\frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right), \quad C\left(\frac{77}{13}, -\frac{12}{13}\right), \quad D(0, -6)}$$

**c) (0.5 puntos) En esa región, halle el valor mínimo de la función $F(x, y) = -2x - 2y + 3$ y dónde lo alcanza.** Evaluamos la función $F(x, y)$ en cada uno de los vértices hallados: 1. $F(A) = F(0, 3) = -2(0) - 2(3) + 3 = -6 + 3 = -3$ 2. $F(B) = F(10/3, 5/3) = -2\left(\frac{10}{3}\right) - 2\left(\frac{5}{3}\right) + 3 = -\frac{20}{3} - \frac{10}{3} + 3 = -\frac{30}{3} + 3 = -10 + 3 = -7$ 3. $F(C) = F(77/13, -12/13) = -2\left(\frac{77}{13}\right) - 2\left(-\frac{12}{13}\right) + 3 = -\frac{154}{13} + \frac{24}{13} + 3 = -\frac{130}{13} + 3 = -10 + 3 = -7$ 4. $F(D) = F(0, -6) = -2(0) - 2(-6) + 3 = 12 + 3 = 15$ Comparando los valores, el valor mínimo es **$-7$**. Como el valor mínimo se alcanza en los vértices **B** y **C**, por las propiedades de la programación lineal, también se alcanza en cualquier punto del segmento que los une. Esto ocurre porque la función objetivo $F(x,y) = -2(x+y)+3$ tiene la misma pendiente que la restricción $x+y=5$. ✅ **Resultado (Mínimo):** $$\boxed{\text{El valor mínimo es } -7 \text{ y se alcanza en todos los puntos del segmento } BC}$$