Estudio de una función a trozos: continuidad, derivabilidad, asíntotas y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.** Primero, analizamos el dominio de la función. La primera rama es un polinomio, definido para todo $x$, y la segunda es una función racional que solo daría problemas en $x = 0$, pero como esta rama solo actúa para $x > 1$, la función está definida en todo $\mathbb{R}$. Para estudiar la continuidad en $x = 1$, calculamos los límites laterales y el valor de la función: 1. Valor de la función: $f(1) = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$. 2. Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $\lim_{x \to 1^-} (x + 1)^2 = (1 + 1)^2 = 4$. 3. Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $\lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x} = \frac{4}{1} = 4$. Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 4$, la función es **continua en $x = 1$**. En el resto de puntos ($x < 1$ y $x > 1$), la función es continua por ser un polinomio y una función racional cuyo denominador no se anula en ese intervalo, respectivamente. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 2(x + 1) & \text{si } x < 1 \\ -\frac{4}{x^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Ahora estudiamos el comportamiento de la derivada en el punto de salto $x = 1$ mediante los límites laterales de $f'(x)$: 1. Derivada por la izquierda ($x \to 1^-$): $f'(1^-) = 2(1 + 1) = 4$. 2. Derivada por la derecha ($x \to 1^+$): $f'(1^+) = -\frac{4}{1^2} = -4$. Como las derivadas laterales son finitas pero distintas ($4 \neq -4$), la función **no es derivable en $x = 1$**. Geométricamente, hay un punto anguloso en $x = 1$. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y sus derivadas laterales deben coincidir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) (0.5 puntos) Determine sus asíntotas, en caso de que existan.** **1. Asíntotas Verticales (AV):** No existen, ya que la función es continua en todo su dominio $\mathbb{R}$. El único punto conflictivo de la segunda rama ($x=0$) no pertenece a su intervalo de definición ($x > 1$). **2. Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: - En $-\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x + 1)^2 = (-\infty)^2 = +\infty$. No hay AH por la izquierda. - En $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x} = 0$. Existe una AH por la derecha en **$y = 0$**. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** - Por la izquierda: $m = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x+1)^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+2x+1}{x} = -\infty$. No hay AO. - Por la derecha: Al haber una AH ($y=0$), no puede haber AO. 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal, no hay oblicua en esa misma dirección ($+\infty$ o $-\infty$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y = 0 \text{ (cuando } x \to +\infty); \text{ AO: No hay}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$.** Como $x = 2 > 1$, utilizamos la segunda rama de la función: $f(x) = \frac{4}{x}$. 1. Hallamos el punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$: $$x_0 = 2 \implies f(2) = \frac{4}{2} = 2 \implies \text{Punto } (2, 2)$$ 2. Hallamos la pendiente de la tangente ($m = f'(2)$): Utilizamos la derivada de esa rama $f'(x) = -\frac{4}{x^2}$: $$m = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1$$ 3. Aplicamos la fórmula de la recta tangente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \implies y - 2 = -1(x - 2)$$ Simplificamos: $$y - 2 = -x + 2 \implies y = -x + 4$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente es $y - y_0 = m(x - x_0)$, donde $m$ es el valor de la derivada en el punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -x + 4}$$