Muestreo aleatorio simple y estratificado

**a) (1.5 puntos) Determine todas las muestras de tamaño 2 que, mediante muestreo aleatorio simple, se pueden extraer del conjunto {6, 9, 12} y calcule la varianza de las medias de estas muestras.** En el muestreo aleatorio simple, cuando se extraen muestras de una población finita, se considera que el proceso se realiza **con reposición** (a menos que se indique lo contrario), lo que significa que el orden importa y los elementos pueden repetirse. Dado el conjunto $\{6, 9, 12\}$, el número total de muestras posibles de tamaño $n=2$ es $3^2 = 9$. Las muestras posibles son: $$(6, 6), (6, 9), (6, 12)$$ $$(9, 6), (9, 9), (9, 12)$$ $$(12, 6), (12, 9), (12, 12)$$ 💡 **Tip:** El muestreo aleatorio simple suele modelarse con reemplazamiento para que las extracciones sean independientes.

Para cada muestra $(x_1, x_2)$, calculamos su media $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$: 1. $(6, 6) \implies \bar{x} = \frac{6+6}{2} = 6$ 2. $(6, 9) \implies \bar{x} = \frac{6+9}{2} = 7.5$ 3. $(6, 12) \implies \bar{x} = \frac{6+12}{2} = 9$ 4. $(9, 6) \implies \bar{x} = \frac{9+6}{2} = 7.5$ 5. $(9, 9) \implies \bar{x} = \frac{9+9}{2} = 9$ 6. $(9, 12) \implies \bar{x} = \frac{9+12}{2} = 10.5$ 7. $(12, 6) \implies \bar{x} = \frac{12+6}{2} = 9$ 8. $(12, 9) \implies \bar{x} = \frac{12+9}{2} = 10.5$ 9. $(12, 12) \implies \bar{x} = \frac{12+12}{2} = 12$ La distribución de las medias muestrales es: $$\begin{array}{c|c} \bar{x}_i & f_i \\ \hline 6 & 1 \\ 7.5 & 2 \\ 9 & 3 \\ 10.5 & 2 \\ 12 & 1 \\ \hline \text{Total} & 9 \end{array}$$

La varianza de las medias muestrales se define como $\sigma_{\bar{x}}^2 = \sum \frac{\bar{x}_i^2 \cdot f_i}{N} - \mu_{\bar{x}}^2$. Primero, calculamos la media de las medias (esperanza): $$\mu_{\bar{x}} = \frac{(6 \cdot 1) + (7.5 \cdot 2) + (9 \cdot 3) + (10.5 \cdot 2) + (12 \cdot 1)}{9} = \frac{6 + 15 + 27 + 21 + 12}{9} = \frac{81}{9} = 9$$ Ahora, calculamos el sumatorio de los cuadrados: $$\sum \bar{x}_i^2 \cdot f_i = (6^2 \cdot 1) + (7.5^2 \cdot 2) + (9^2 \cdot 3) + (10.5^2 \cdot 2) + (12^2 \cdot 1)$$ $$= 36 + 112.5 + 243 + 220.5 + 144 = 756$$ La varianza es: $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{756}{9} - 9^2 = 84 - 81 = 3$$ 💡 **Tip:** También se puede comprobar usando la fórmula $\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}$. La varianza poblacional $\sigma^2$ de $\{6, 9, 12\}$ es $\frac{(6-9)^2+(9-9)^2+(12-9)^2}{3} = \frac{18}{3} = 6$. Por tanto, $\sigma_{\bar{x}}^2 = 6/2 = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}}^2 = 3}$$

**b) (1 punto) Una empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamente 40, 15, 25 y 120 unidades respectivamente. Si un día se quiere elaborar una muestra de 40 unidades con los productos fabricados, por muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿qué número de unidades de cada producto se debe elegir?** Primero calculamos el tamaño total de la población ($N$), sumando las unidades de todos los productos: $$N = N_A + N_B + N_C + N_D = 40 + 15 + 25 + 120 = 200\text{ unidades}$$ El tamaño de la muestra deseada es $n = 40$. En la **afijación proporcional**, la relación entre el tamaño de la muestra de un estrato ($n_i$) y el tamaño de dicho estrato en la población ($N_i$) debe ser constante e igual a la proporción de la muestra total respecto a la población total: $$\frac{n_i}{N_i} = \frac{n}{N}$$ Calculamos el factor de proporcionalidad: $$\frac{n}{N} = \frac{40}{200} = 0.2$$

Aplicamos el factor $0.2$ a cada estrato para hallar $n_i = N_i \cdot 0.2$: - **Producto A:** $n_A = 40 \cdot 0.2 = 8$ unidades - **Producto B:** $n_B = 15 \cdot 0.2 = 3$ unidades - **Producto C:** $n_C = 25 \cdot 0.2 = 5$ unidades - **Producto D:** $n_D = 120 \cdot 0.2 = 24$ unidades Comprobamos que la suma sea correcta: $8 + 3 + 5 + 24 = 40$. 💡 **Tip:** La afijación proporcional asegura que los estratos con más elementos en la población tengan también mayor representación en la muestra. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n_A = 8, \; n_B = 3, \; n_C = 5, \; n_D = 24}$$