Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (0.5 puntos) Efectúe la operación $A \cdot B^t$.** Primero, calculamos la matriz traspuesta de $B$, denotada como $B^t$. Para ello, intercambiamos las filas por las columnas: $$B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $A \cdot B^t$ multiplicando filas de $A$ por columnas de $B^t$: $$A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B^t = \begin{pmatrix} (2 \cdot 3) + (1 \cdot (-2)) & (2 \cdot 1) + (1 \cdot 4) \\ (3 \cdot 3) + (-2 \cdot (-2)) & (3 \cdot 1) + (-2 \cdot 4) \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 6 - 2 & 2 + 4 \\ 9 + 4 & 3 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 13 & -5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la traspuesta, la primera fila de $B$ se convierte en la primera columna de $B^t$. Para el producto, multiplicamos elemento a elemento y sumamos: (fila $i$ de $A$) $\cdot$ (columna $j$ de $B^t$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 13 & -5 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.75 puntos) Determine la matriz $X$ tal que $A + 2X = B$.** Para hallar $X$, primero despejamos el término que la contiene restando $A$ en ambos lados de la igualdad: $$2X = B - A$$ Calculamos la resta $B - A$ elemento a elemento: $$B - A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 & -2 - 1 \\ 1 - 3 & 4 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$$ Finalmente, despejamos $X$ dividiendo toda la matriz resultante por $2$ (o multiplicando por $\frac{1}{2}$): $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -3/2 \\ -2/2 & 6/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & -1.5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales con sumas, operamos igual que en el álgebra convencional. Ten cuidado con los signos al restar, especialmente con el $-(-2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/2 & -3/2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}}$$

**c) (1.25 puntos) Calcule la matriz $Y$, sabiendo que $B \cdot Y = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ \end{pmatrix}$.** Para despejar $Y$ en la ecuación $B \cdot Y = C$, donde $C = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $B$: $$Y = B^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$ **1. Calculamos el determinante de $B$:** $$|B| = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (3 \cdot 4) - (-2 \cdot 1) = 12 + 2 = 14$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz $B$ es inversible. **2. Hallamos la matriz de adjuntos $Adj(B)$:** Calculamos los adjuntos de cada elemento: - $Adj_{11} = 4$ - $Adj_{12} = -1$ - $Adj_{21} = -(-2) = 2$ - $Adj_{22} = 3$ $$Adj(B) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ **3. Calculamos la inversa $B^{-1}$:** $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \cdot (Adj(B))^t = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ **4. Resolvemos para $Y$:** $$Y = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 \cdot 6 + 2 \cdot 9 \\ -1 \cdot 6 + 3 \cdot 9 \end{pmatrix}$$ $$Y = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 24 + 18 \\ -6 + 27 \end{pmatrix} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 42 \\ 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42/14 \\ 21/14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales el orden importa. Como $B$ está a la izquierda de $Y$, su inversa $B^{-1}$ debe aparecer a la izquierda del término independiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 3 \\ 1.5 \end{pmatrix}}$$