Cálculo de derivadas en un punto

**Determine el valor de $f'(-1)$ y de $g'(0)$.** Primero, vamos a calcular la derivada de la función $f(x) = (2x^2 - 1)^3 \ln(x^4)$. Como es un producto de dos funciones, aplicamos la **regla del producto**: 💡 **Tip:** Si $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, entonces $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. Definimos las partes: - $u(x) = (2x^2 - 1)^3$. Derivamos usando la regla de la cadena: $u'(x) = 3(2x^2 - 1)^2 \cdot (4x) = 12x(2x^2 - 1)^2$. - $v(x) = \ln(x^4)$. Derivamos usando la regla de la cadena: $v'(x) = \frac{1}{x^4} \cdot 4x^3 = \frac{4}{x}$. Combinamos las partes para obtener $f'(x)$: $$f'(x) = 12x(2x^2 - 1)^2 \ln(x^4) + (2x^2 - 1)^3 \cdot \frac{4}{x}$$ Ahora evaluamos en $x = -1$: 1. $12(-1)(2(-1)^2 - 1)^2 = -12(2 - 1)^2 = -12(1)^2 = -12$ 2. $\ln((-1)^4) = \ln(1) = 0$ 3. $(2(-1)^2 - 1)^3 = (2 - 1)^3 = 1^3 = 1$ 4. $\frac{4}{-1} = -4$ Sustituimos: $$f'(-1) = (-12) \cdot 0 + 1 \cdot (-4) = -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(-1) = -4}$$

Ahora calculamos la derivada de la función $g(x) = \frac{e^{-2x+x^2}}{x^2 + 1}$. Al ser un cociente, utilizamos la **regla del cociente**: 💡 **Tip:** Si $g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, entonces $g'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$. Definimos las partes: - $u(x) = e^{-2x+x^2}$. Su derivada es $u'(x) = e^{-2x+x^2} \cdot (-2 + 2x)$. - $v(x) = x^2 + 1$. Su derivada es $v'(x) = 2x$. Escribimos la expresión de la derivada: $$g'(x) = \frac{(-2 + 2x)e^{-2x+x^2}(x^2 + 1) - e^{-2x+x^2}(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ Evaluamos en $x = 0$: 1. Numerador: - $u'(0) = (-2 + 2(0))e^0 = -2 \cdot 1 = -2$ - $v(0) = 0^2 + 1 = 1$ - $u(0) = e^0 = 1$ - $v'(0) = 2(0) = 0$ - Operación: $(-2) \cdot 1 - 1 \cdot 0 = -2$ 2. Denominador: - $(0^2 + 1)^2 = 1^2 = 1$ Finalmente: $$g'(0) = \frac{-2}{1} = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(0) = -2}$$