Probabilidad de deportes en un instituto

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales: - $F$: El alumno juega al fútbol. - $B$: El alumno juega al baloncesto. Del enunciado extraemos las probabilidades directas: - $P(F) = 0.40$ - $P(B) = 0.30$ - $P(F \cap B) = 0.20$ Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para facilitar los cálculos de los siguientes apartados: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline F & 0.20 & 0.20 & 0.40 \\ \bar{F} & 0.10 & 0.50 & 0.60 \\\hline \text{Total} & 0.30 & 0.70 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En los ejercicios de probabilidad con dos sucesos y su intersección, completar una tabla de contingencia suele ser la estrategia más rápida y clara.

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, no practique ninguno de los dos deportes?** Nos piden calcular la probabilidad de que no juegue al fútbol y tampoco juegue al baloncesto, es decir, $P(\bar{F} \cap \bar{B})$. **Método 1 (Usando la tabla):** Mirando directamente en la tabla de contingencia que hemos construido, la intersección de no fútbol ($\bar{F}$) y no baloncesto ($\bar{B}$) es: $$P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 0.50$$ **Método 2 (Leyes de De Morgan):** Sabemos que $P(\bar{F} \cap \bar{B}) = P(\overline{F \cup B}) = 1 - P(F \cup B)$. Primero calculamos la probabilidad de la unión: $$P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$ $$P(F \cup B) = 0.40 + 0.30 - 0.20 = 0.50$$ Entonces: $$P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 1 - 0.50 = 0.50$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 0.50}$$

**b) (0.75 puntos) Si un alumno, elegido al azar, juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que no juegue al baloncesto?** Se trata de una probabilidad condicionada. Sabemos que el alumno juega al fútbol (suceso $F$), y queremos saber la probabilidad de que no juegue al baloncesto (suceso $\bar{B}$). La fórmula es: $$P(\bar{B} | F) = \frac{P(\bar{B} \cap F)}{P(F)}$$ Buscamos los valores necesarios: - $P(\bar{B} \cap F)$: Es la probabilidad de que juegue al fútbol pero no al baloncesto. En la tabla es **0.20**. - $P(F)$: Es la probabilidad de jugar al fútbol, que es **0.40**. Sustituimos en la fórmula: $$P(\bar{B} | F) = \frac{0.20}{0.40} = 0.5$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ restringe el espacio muestral al suceso $B$. En este caso, solo miramos a los que juegan al fútbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{B} | F) = 0.5}$$

**c) (0.75 puntos) ¿Son independientes los sucesos "jugar al fútbol" y "jugar al baloncesto"?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Comprobamos si esto ocurre para nuestros datos: - Intersección dada: $P(F \cap B) = 0.20$ - Producto de probabilidades individuales: $$P(F) \cdot P(B) = 0.40 \cdot 0.30 = 0.12$$ Comparamos los resultados: $$0.20 \neq 0.12$$ Como $P(F \cap B) \neq P(F) \cdot P(B)$, concluimos que los sucesos no son independientes. 💡 **Tip:** Si el hecho de que ocurra un suceso cambia la probabilidad de que ocurra el otro, los sucesos son dependientes. Aquí, jugar al fútbol aumenta la probabilidad de jugar al baloncesto (pasa de 0.30 a 0.50). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos no son independientes (son dependientes)}}$$