Contraste de hipótesis para la proporción

**a) (1.5 puntos) Mediante un contraste de hipótesis, ($H_0 : p \geq 0.65$), con un nivel de significación del 10%, ¿se puede decir que tienen razón los responsables de tráfico de esa ciudad?** Primero, definimos la proporción poblacional $p$ como la proporción de habitantes favorables al carril-bici. El enunciado nos indica que los responsables afirman que esta proporción es "al menos" (mayor o igual) el $65\%$. Las hipótesis del contraste son: - Hipótesis nula: $H_0: p \geq 0.65$ (Lo que afirman los responsables). - Hipótesis alternativa: $H_1: p \lt 0.65$. Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**, ya que la zona de rechazo se situará en los valores significativamente menores que el valor hipotético. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula $H_0$ siempre contiene el signo de igualdad ($=, \leq, \geq$). La hipótesis alternativa $H_1$ determina la dirección del contraste.

Anotamos los datos que nos proporciona la muestra de tamaño $n = 950$: - Proporción hipotética: $p_0 = 0.65$ - Proporción complementaria: $q_0 = 1 - p_0 = 0.35$ - Tamaño de la muestra: $n = 950$ - Éxitos en la muestra (habitantes a favor): $x = 590$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{x}{n} = \dfrac{590}{950} \approx 0.6211$ Como el tamaño de la muestra es grande ($n \cdot p_0 \gt 5$ y $n \cdot q_0 \gt 5$), podemos usar la aproximación a la normal. El estadístico de contraste se calcula mediante la fórmula: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Calculamos el valor del error estándar de la proporción: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{950}} = \sqrt{\frac{0.2275}{950}} \approx \sqrt{0.00023947} \approx 0.01547$$ Ahora calculamos el valor observado del estadístico $Z$: $$Z_{obs} = \frac{0.6211 - 0.65}{0.01547} = \frac{-0.0289}{0.01547} \approx -1.868$$ $$\boxed{Z_{obs} \approx -1.87}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0.10$, al ser un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.10$$ Esto es equivalente a buscar $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt z_{\alpha}) = 1 - 0.10 = 0.90$. Consultando las tablas de la distribución Normal $N(0,1)$: Para una probabilidad de $0.90$, el valor de $z$ está entre $1.28$ y $1.29$. Tomamos el valor más aproximado o la media: $$z_{0.10} = 1.282$$ Por tanto, el valor crítico es **$-1.282$**. La región de aceptación es el intervalo $(-1.282, +\infty)$ y la región de rechazo es $(-\infty, -1.282)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si el estadístico observado cae dentro de la región de rechazo (es más pequeño que el valor crítico negativo en este caso), rechazamos la hipótesis nula.

Comparamos el estadístico observado con el valor crítico: $$Z_{obs} = -1.87 \quad \text{y} \quad z_{crítico} = -1.282$$ Dado que $-1.87 \lt -1.282$, el valor observado cae en la **región de rechazo**. Por lo tanto, con un nivel de significación del $10\%$, **se rechaza la hipótesis nula $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede decir que tengan razón los responsables de tráfico a un nivel del 10%}}$$

**b) (1 punto) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%?** Repetimos el proceso para $\alpha = 0.01$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.01$$ Buscamos en la tabla $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt z_{\alpha}) = 0.99$. El valor correspondiente es: $$z_{0.01} = 2.326 \approx 2.33$$ El valor crítico es **$-2.33$**. La nueva región de rechazo es $(-\infty, -2.33)$. Comparamos nuestro estadístico calculado anteriormente ($Z_{obs} = -1.87$) con este nuevo límite: $$-1.87 \gt -2.33$$ En este caso, el estadístico **cae en la región de aceptación**. 💡 **Tip:** Al disminuir el nivel de significación (de $10\%$ a $1\%$), somos más estrictos para rechazar la hipótesis nula, por lo que la zona de rechazo se hace más pequeña. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se concluiría lo mismo. Al 1%, no se rechaza } H_0 \text{ y se aceptaría la razón de los responsables}}$$