Ecuación matricial y Programación lineal

**a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X = 2 \cdot (C - D^t)$, siendo: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \\ \end{pmatrix}$.** Primero, aislamos la matriz $X$ en la ecuación dada. Para ello, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista. $$A \cdot X = 2(C - D^t) \implies X = A^{-1} \cdot [2(C - D^t)]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices no existe la división. Para "pasar una matriz al otro lado" multiplicando, debemos usar su inversa y respetar el orden (por la izquierda o por la derecha).

Calculamos primero la matriz transpuesta de $D$ ($D^t$), intercambiando filas por columnas: $$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \implies D^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la resta $C - D^t$: $$C - D^t = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 1 & 2 - 2 \\ -1 - (-1) & 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar $2$: $$B_{res} = 2(C - D^t) = 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{2(C - D^t) = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0) - (2 \cdot 1) = -2$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta (o traspuesta de la adjunta): 1. Matriz de menores: $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 2. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: $\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 3. Traspuesta de la adjunta $[Adj(A)]^t$: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ La inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^t = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar de signo los de la diagonal secundaria y dividir todo por el determinante.

Multiplicamos $A^{-1}$ por el resultado obtenido en el paso 2: $$X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (0 \cdot -2) + (1/2 \cdot 0) & (0 \cdot 0) + (1/2 \cdot 6) \\ (1 \cdot -2) + (0 \cdot 0) & (1 \cdot 0) + (0 \cdot 6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Si $A(0, 2)$, $B(2, 0)$, $C(4, 0)$, $D(6, 3)$ y $E(3,6)$ son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función $F(x, y) = 4x - 3y + 8$ e indique los puntos donde se alcanzan.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, los valores óptimos (máximo y mínimo) se encuentran en los vértices de la región factible o en los segmentos que los unen. Evaluamos la función $F(x, y) = 4x - 3y + 8$ en cada punto: - Punto $A(0, 2)$: $F(0, 2) = 4(0) - 3(2) + 8 = -6 + 8 = 2$ - Punto $B(2, 0)$: $F(2, 0) = 4(2) - 3(0) + 8 = 8 + 8 = 16$ - Punto $C(4, 0)$: $F(4, 0) = 4(4) - 3(0) + 8 = 16 + 8 = 24$ - Punto $D(6, 3)$: $F(6, 3) = 4(6) - 3(3) + 8 = 24 - 9 + 8 = 23$ - Punto $E(3, 6)$: $F(3, 6) = 4(3) - 3(6) + 8 = 12 - 18 + 8 = 2$ 💡 **Tip:** Asegúrate de sustituir correctamente la $x$ y la $y$ en la fórmula para evitar errores de signo.

Comparando los resultados obtenidos: - El **valor máximo** es **24** y se alcanza en el punto **$C(4, 0)$**. - El **valor mínimo** es **2** y se alcanza en los puntos **$A(0, 2)$** y **$E(3, 6)$**. Nota: Como el mínimo se alcanza en dos vértices adyacentes, también se alcanzaría en todos los puntos del segmento que los une, aunque el ejercicio solo pide indicar los puntos (vértices) donde se alcanza. ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\text{Máximo: 24 en } C(4, 0); \text{ Mínimo: 2 en } A(0, 2) \text{ y } E(3, 6)}$$