Estudio y representación de una función polinómica de tercer grado

**Represente gráficamente la función $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x$, estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.** Primero, analizamos el **dominio**. La función $f(x)$ es una función polinómica, y como tal, no tiene restricciones (no hay divisiones por cero ni raíces de índice par de números negativos). $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Calculamos los **puntos de corte** con los ejes coordenados: 1. **Corte con el eje OY (hacemos $x=0$):** $$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 12(0) = 0 \implies \text{Punto } (0,0)$$ 2. **Corte con el eje OX (hacemos $f(x)=0$):** $$x^3 - 6x^2 + 12x = 0 \implies x(x^2 - 6x + 12) = 0$$ - Una solución es $x = 0$. - Para $x^2 - 6x + 12 = 0$, usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(12)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2}$$ Como el discriminante es negativo, no existen más raíces reales. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio ($\mathbb{R}$) y su representación siempre es una curva suave. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dominio: } \mathbb{R}, \text{ Punto de corte: } (0,0)}$$

Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y hallar los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 12x + 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies 3(x-2)^2 = 0$$ La única solución es $x = 2$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) = 3(x-2)^2 & + & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{P. Silla} & \text{Creciente} \\ \end{array}$$ Observamos que $f'(x) \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, ya que $(x-2)^2$ siempre es positivo o cero. La función es **creciente en todo su dominio**. Como la derivada no cambia de signo al pasar por $x=2$, **no existen máximos ni mínimos relativos**. El punto $x=2$ es un punto de inflexión de tangente horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } \mathbb{R}. \text{ No hay extremos relativos.}}$$

Para estudiar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada $f''(x)$: $$f''(x) = 6x - 12$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$6x - 12 = 0 \implies x = 2$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en la recta real: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava } (\cap) & \text{Inflexión} & \text{Convexa } (\cup) \\ \end{array}$$ - En el intervalo $(-\infty, 2)$, $f''(x) \lt 0$, por lo que la función es **cóncava** hacia abajo. - En el intervalo $(2, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, por lo que la función es **convexa** hacia arriba. Existe un **punto de inflexión** en $x=2$. Calculamos su coordenada $y$: $$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 12(2) = 8 - 24 + 24 = 8$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de curvatura. No olvides calcular la coordenada $y$ sustituyendo en la función original $f(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión: } (2,8)}$$

Resumiendo los datos obtenidos: - Dominio: $\mathbb{R}$. - Punto de corte con ejes: $(0,0)$. - Siempre creciente, con un rellano (tangente horizontal) en $(2,8)$. - Cóncava en $(-\infty, 2)$ y convexa en $(2, +\infty)$. Representamos la función basándonos en estos elementos: