Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) (1 punto) ¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral?** El intervalo de confianza para una proporción tiene la forma $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$, donde $\hat{p}$ es la proporción muestral y $E$ es el error máximo cometido. Dado que el intervalo es simétrico respecto a la proporción muestral, $\hat{p}$ se encuentra exactamente en el punto medio del intervalo $(0.31, 0.39)$. Lo calculamos sumando los extremos y dividiendo por dos: $$\hat{p} = \frac{0.31 + 0.39}{2} = \frac{0.70}{2} = 0.35$$ 💡 **Tip:** En cualquier intervalo de confianza, el valor puntual del estimador (como la media o la proporción) siempre es el centro del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\hat{p} = 0.35}$$

**b) (0.5 puntos) Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas, ¿cuántas de ellas deseaban la construcción del centro comercial?** La proporción muestral $\hat{p}$ representa la fracción de personas de la muestra que están a favor. Si conocemos el tamaño de la muestra ($n = 500$), el número de personas favorables ($X$) se obtiene multiplicando el tamaño de la muestra por dicha proporción: $$X = n \cdot \hat{p}$$ $$X = 500 \cdot 0.35 = 175$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral se define como $\hat{p} = \frac{X}{n}$, por lo que para hallar el número de individuos con la característica simplemente despejamos $X$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{175 \text{ personas}}$$

**c) (1 punto) Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0.03 y el mismo nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?** Primero, debemos hallar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al nivel de confianza del 94% ($1 - \alpha = 0.94$). 1. Calculamos $\alpha$: $1 - 0.94 = 0.06$. 2. Calculamos $\alpha/2$: $0.06 / 2 = 0.03$. 3. Buscamos en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.03 = 0.97$$ Mirando en la tabla normal, el valor más cercano a $0.97$ es $0.9699$, que corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.88$$ 💡 **Tip:** Si el nivel de confianza es del 94%, queda un 6% fuera del intervalo (3% en cada cola). Por eso buscamos el valor que deja el 97% a su izquierda. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.88}$$

Para calcular el tamaño de la muestra $n$, utilizamos la fórmula del error máximo para la proporción: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$$ Queremos que $E \le 0.03$. Despejamos $n$ de la fórmula: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{E^2}$$ Sustituimos los valores conocidos: $z_{\alpha/2} = 1.88$, $\hat{p} = 0.35$, $1 - \hat{p} = 0.65$ y $E = 0.03$: $$n = \frac{(1.88)^2 \cdot 0.35 \cdot 0.65}{(0.03)^2}$$ $$n = \frac{3.5344 \cdot 0.2275}{0.0009}$$ $$n = \frac{0.804076}{0.0009} \approx 893.417$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de 0.03, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. 💡 **Tip:** Siempre que calcules el tamaño muestral $n$, si el resultado tiene decimales, redondea hacia arriba, incluso si el decimal es pequeño. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 894 \text{ personas}}$$