Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Obtenga la matriz $A^{2014}$.** Para hallar una potencia elevada de una matriz, primero calculamos las primeras potencias ($A^2, A^3, ...$) para intentar encontrar un patrón o ley de recurrencia. Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + a\cdot 0 & 1\cdot a + a\cdot 1 \\ 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot a + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^3$ usando el resultado anterior: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2a\cdot 0 & 1\cdot a + 2a\cdot 1 \\ 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot a + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices, recuerda la regla de "fila por columna". En este tipo de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal, la estructura suele mantenerse.

Observando los resultados obtenidos: - $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Podemos inducir que la expresión general para la potencia $n$-ésima es: $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para el caso particular $n = 2014$, sustituimos el valor en la fórmula general: $$A^{2014} = \begin{pmatrix} 1 & 2014a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{A^{2014} = \begin{pmatrix} 1 & 2014a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Para $a = 2$, resuelva la ecuación matricial $A^3 \cdot X - 4B = O$.** Primero, aislamos el término que contiene a la incógnita $X$: $$A^3 \cdot X = 4B$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa $(A^3)^{-1}$, siempre que esta exista (es decir, si su determinante es distinto de cero): $$X = (A^3)^{-1} \cdot (4B)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Como $A^3$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer a la izquierda de $4B$.

Sustituimos $a = 2$ en la expresión de $A^3$ que hallamos en el apartado anterior: $$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3(2) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A^3$: $$|A^3| = (1 \cdot 1) - (6 \cdot 0) = 1$$ Como $|A^3| = 1 \neq 0$, la matriz es inversible. La matriz inversa para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ se calcula como $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$: $$(A^3)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La inversa de una matriz de la forma $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es siempre $\begin{pmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculamos la matriz $4B$: $$4B = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 3/4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot\frac{1}{2} & 4\cdot 0 \\ 4\cdot\frac{3}{4} & 4\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, realizamos el producto para hallar $X$: $$X = (A^3)^{-1} \cdot (4B) = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + (-6)\cdot 3 & 1\cdot 0 + (-6)\cdot 0 \\ 0\cdot 2 + 1\cdot 3 & 0\cdot 0 + 1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 18 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -16 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}}$$