Optimización de beneficios y estudio de una función cuadrática

**a) (1 punto) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.** Para maximizar la función de beneficios $f(x) = -2x^2 + 36x + 138$, primero calculamos su derivada primera para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = -4x + 36$$ Igualamos la derivada a cero para hallar el valor de $x$ donde la pendiente es nula: $$-4x + 36 = 0 \implies 4x = 36 \implies x = \frac{36}{4} = 9$$ Comprobamos si es un máximo mediante la segunda derivada: $$f''(x) = -4$$ Como $f''(9) = -4 \lt 0$, confirmamos que en $x = 9$ existe un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** Recuerda que si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, la función es cóncava hacia abajo y tenemos un máximo. $$\boxed{x = 9 \text{ mil euros}}$$

Una vez sabemos que la inversión óptima es $x = 9$ mil euros, calculamos el beneficio correspondiente sustituyendo este valor en la función original $f(x)$: $$f(9) = -2(9)^2 + 36(9) + 138$$ $$f(9) = -2(81) + 324 + 138$$ $$f(9) = -162 + 324 + 138 = 300$$ El beneficio óptimo es de **300 mil euros**. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\text{Inversión: } 9 \text{ mil €, Beneficio: } 300 \text{ mil €}}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule $f'(7)$ e interprete el signo del resultado.** Utilizamos la derivada hallada anteriormente, $f'(x) = -4x + 36$, y evaluamos en $x = 7$: $$f'(7) = -4(7) + 36 = -28 + 36 = 8$$ **Interpretación del signo:** Como $f'(7) = 8 \gt 0$, el signo es **positivo**. Esto significa que en el punto $x = 7$, la función de beneficios es **creciente**. En el contexto del problema, esto indica que al invertir 7 mil euros, si aumentamos ligeramente la inversión, el beneficio de la empresa seguirá aumentando. 💡 **Tip:** El signo de la derivada nos indica la monotonía: $f'(a) \gt 0$ implica que la función crece en $a$, mientras que $f'(a) \lt 0$ implica que decrece. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{f'(7) = 8; \text{ al ser positivo, el beneficio está creciendo en ese punto}}$$

**c) (1 punto) Dibuje la función de beneficios $f(x)$. ¿Para qué valor o valores de la inversión, $x$, el beneficio es de 138 mil euros?** Resolvemos primero la segunda parte de la pregunta igualando la función a 138: $$f(x) = 138 \implies -2x^2 + 36x + 138 = 138$$ Restamos 138 en ambos lados: $$-2x^2 + 36x = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado incompleta: $$-2x(x - 18) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1) $-2x = 0 \implies x = 0$ 2) $x - 18 = 0 \implies x = 18$ Por tanto, el beneficio es de 138 mil euros cuando la inversión es de **0 euros** (situación inicial) o de **18 mil euros**. ✅ **Resultado (valores de x):** $$\boxed{x = 0 \text{ y } x = 18 \text{ mil euros}}$$

Para dibujar la función $f(x) = -2x^2 + 36x + 138$ con $x \geq 0$, tenemos en cuenta los puntos clave hallados: - **Vértice (Máximo):** $(9, 300)$ - **Puntos donde $f(x) = 138$:** $(0, 138)$ y $(18, 138)$ - **Corte con el eje Y:** Cuando $x=0$, $f(0)=138$. - **Corte con el eje X:** $-2x^2 + 36x + 138 = 0 \implies x \approx 21.28$ (la otra raíz es negativa y queda fuera del dominio $x \geq 0$). La gráfica es una parábola con las ramas hacia abajo que empieza en $(0, 138)$, sube hasta el máximo en $(9, 300)$ y baja cruzando de nuevo el nivel 138 en $x=18$.