Probabilidad con urnas y Teorema de Bayes

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen en el experimento: - $A$: Extraer una bola de la urna A (sale cara en la moneda). - $B$: Extraer una bola de la urna B (sale cruz en la moneda). - $P$: El número de la bola extraída es par. - $I$: El número de la bola extraída es impar. Analizamos las probabilidades en cada urna: - **Urna A** (bolas del 1 al 7): Los números pares son $\{2, 4, 6\}$ (3 números). Los impares son $\{1, 3, 5, 7\}$ (4 números). $$P(P|A) = \frac{3}{7}, \quad P(I|A) = \frac{4}{7}$$ - **Urna B** (bolas del 1 al 5): Los números pares son $\{2, 4\}$ (2 números). Los impares son $\{1, 3, 5\}$ (3 números). $$P(P|B) = \frac{2}{5}, \quad P(I|B) = \frac{3}{5}$$ Como la moneda es equilibrada, $P(A) = 1/2$ y $P(B) = 1/2$. Representamos la situación en un diagrama de árbol:

**a) (0.5 puntos) "La bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par".** Este suceso es la intersección de elegir la urna A y obtener un número par. Utilizamos la regla del producto: $$P(A \cap P) = P(A) \cdot P(P|A)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap P) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14}$$ Para dar el resultado en decimal (opcional): $$\frac{3}{14} \approx 0.2143$$ 💡 **Tip:** La conjunción "y" en probabilidad se traduce como la intersección ($\\cap$). En un árbol, se calcula multiplicando las probabilidades de las ramas del camino correspondiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap P) = \frac{3}{14}}$$

**b) (1 punto) "El número de la bola extraída sea par".** Para calcular la probabilidad de obtener un número par independientemente de la urna, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso $P$ puede ocurrir de dos formas: a través de la urna A o a través de la urna B. $$P(P) = P(A \cap P) + P(B \cap P)$$ $$P(P) = P(A) \cdot P(P|A) + P(B) \cdot P(P|B)$$ Sustituimos los datos: $$P(P) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \right)$$ $$P(P) = \frac{3}{14} + \frac{2}{10} = \frac{3}{14} + \frac{1}{5}$$ Calculamos el común denominador ($70$): $$P(P) = \frac{15}{70} + \frac{14}{70} = \frac{29}{70}$$ Decimal aproximado: $$\frac{29}{70} \approx 0.4143$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = \frac{29}{70}}$$

**c) (1 punto) "La bola sea de la urna A, si ha salido un número par".** Se nos pide calcular la probabilidad de que la urna fuera la A sabiendo que el resultado ha sido par. Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que usamos el **Teorema de Bayes**. $$P(A|P) = \frac{P(A \cap P)}{P(P)}$$ Ya tenemos calculados ambos valores en los apartados anteriores: - $P(A \cap P) = \frac{3}{14}$ (del apartado a) - $P(P) = \frac{29}{70}$ (del apartado b) Sustituimos: $$P(A|P) = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{29}{70}}$$ Resolvemos la división de fracciones: $$P(A|P) = \frac{3 \cdot 70}{14 \cdot 29}$$ Simplificamos dividiendo entre 14 ($70 = 14 \cdot 5$): $$P(A|P) = \frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 29} = \frac{15}{29}$$ Decimal aproximado: $$\frac{15}{29} \approx 0.5172$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|P)$ no es lo mismo que $P(P|A)$. La fórmula de Bayes nos permite "invertir" la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|P) = \frac{15}{29}}$$