Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 98.8%, para el precio medio de esos libros.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado sobre la población y la muestra: - Población: Sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma) = N(\mu, 5)$. - Tamaño de la muestra: $n = 121$. - Media muestral: $\bar{x} = 23$ €. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.988$ (lo que equivale al $98.8\%$). Para construir el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.988$. Calculamos $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.988 = 0.012 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.006$$ Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$ que deje a su derecha una probabilidad de $0.006$, es decir, que deje a su izquierda: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.006 = 0.9940$$ Mirando en la tabla de la Normal, el valor exacto para $0.9940$ corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.51}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para niveles de confianza poco comunes, debes calcular con precisión $1 - \alpha/2$ para buscar el valor en el interior de la tabla Z.

El error máximo admitido para un intervalo de confianza de la media viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2.51 \cdot \frac{5}{\sqrt{121}} = 2.51 \cdot \frac{5}{11} = 2.51 \cdot 0.4545... \approx 1.1409$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (23 - 1.1409, \; 23 + 1.1409)$$ $$IC = (21.8591, \; 24.1409)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (21.86, \; 24.14) \text{ euros}}$$

**b) (1 punto) ¿Cuántos libros habría que elegir como muestra para que, con la misma confianza, el error máximo de la estimación no excediera de 1€?** En este apartado, mantenemos el nivel de confianza ($98.8\%$), por lo que el valor crítico sigue siendo $z_{\alpha/2} = 2.51$. Queremos que el error $E$ sea como máximo $1$ €. Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 1$$ Sustituimos y despejamos $n$: $$2.51 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}} \le 1 \implies \frac{12.55}{\sqrt{n}} \le 1 \implies 12.55 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado en ambos lados para eliminar la raíz: $$n \ge (12.55)^2$$ $$n \ge 157.5025$$ Como el número de libros debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado decimal es $157.1$, el tamaño mínimo seguiría siendo $158$ para cumplir la restricción de error. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 158 \text{ libros}}$$