Programación lineal: Recinto y optimización

**a) (1.8 puntos) Dadas las inecuaciones $y \leq x + 5, \quad 2x + y \geq -4, \quad 4x \leq 10 - y, \quad y \geq 0$ represente el recinto que limitan y calcule sus vértices.** Para representar el recinto, primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas para obtener las fronteras del recinto: 1. $r_1: y = x + 5$ (o bien $-x + y = 5$) 2. $r_2: 2x + y = -4$ 3. $r_3: 4x + y = 10$ (despejando de $4x \leq 10 - y$) 4. $r_4: y = 0$ (Eje $X$) 💡 **Tip:** Para representar cada recta, basta con dar dos valores a la $x$ y obtener su correspondiente $y$. Por ejemplo, en $r_1$, si $x=0, y=5$; si $y=0, x=-5$.

Los vértices se obtienen hallando el punto de corte entre las rectas que delimitan la región factible: * **Vértice $A$ (Corte $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} y = x + 5 \\ 2x + y = -4 \end{cases} \implies 2x + (x + 5) = -4 \implies 3x = -9 \implies x = -3$$ Sustituyendo: $y = -3 + 5 = 2$. Luego, $\mathbf{A(-3, 2)}$. * **Vértice $B$ (Corte $r_2$ y $r_4$):** $$\begin{cases} 2x + y = -4 \\ y = 0 \end{cases} \implies 2x = -4 \implies x = -2$$ Luego, $\mathbf{B(-2, 0)}$. * **Vértice $C$ (Corte $r_3$ y $r_4$):** $$\begin{cases} 4x + y = 10 \\ y = 0 \end{cases} \implies 4x = 10 \implies x = 2.5$$ Luego, $\mathbf{C(2.5, 0)}$. * **Vértice $D$ (Corte $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} y = x + 5 \\ 4x + y = 10 \end{cases} \implies 4x + (x + 5) = 10 \implies 5x = 5 \implies x = 1$$ Sustituyendo: $y = 1 + 5 = 6$. Luego, $\mathbf{D(1, 6)}$. ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(-3, 2), \; B(-2, 0), \; C(2.5, 0), \; D(1, 6)}$$

Para determinar la región válida, probamos con un punto interior (si es posible el $(0,0)$) en las inecuaciones: - $0 \leq 0 + 5$ (Cierto) - $2(0) + 0 \geq -4$ (Cierto) - $4(0) \leq 10 - 0$ (Cierto) - $0 \geq 0$ (Cierto) La región es el polígono convexo formado por los vértices calculados.

**b) (0.7 puntos) Obtenga el máximo y el mínimo de la función $f(x, y) = x + \frac{1}{2}y$ en el recinto anterior, así como los puntos en los que se alcanzan.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo se alcanzan en los vértices del recinto (o en los segmentos que los unen). Evaluamos $f(x, y) = x + 0.5y$ en cada vértice: * $f(A) = f(-3, 2) = -3 + 0.5(2) = -3 + 1 = -2$ * $f(B) = f(-2, 0) = -2 + 0.5(0) = -2$ * $f(C) = f(2.5, 0) = 2.5 + 0.5(0) = 2.5$ * $f(D) = f(1, 6) = 1 + 0.5(6) = 1 + 3 = 4$ 💡 **Tip:** Si el valor óptimo se repite en dos vértices adyacentes, todos los puntos del segmento que los une también son soluciones óptimas.

Analizando los valores obtenidos: 1. **Máximo:** El valor más alto es $4$ y se alcanza en el punto **$D(1, 6)$**. 2. **Mínimo:** El valor más bajo es $-2$. Se alcanza tanto en **$A(-3, 2)$** como en **$B(-2, 0)$**. Esto ocurre porque la función objetivo tiene la misma pendiente que la recta que une $A$ y $B$. Por tanto, el mínimo se alcanza en **cualquier punto del segmento $\overline{AB}$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 4 \text{ en } (1, 6)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo: } -2 \text{ en todos los puntos del segmento } \overline{AB}}$$