Continuidad, derivabilidad y extremos de una función a trozos

**a) (1.5 puntos) Obtenga los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable.** Para que la función sea continua y derivable en todo su dominio, el punto crítico es $x = 2$, donde se produce el salto entre ramas. Primero, para que sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-bx^2 - bx + a) = -b(2)^2 - b(2) + a = -4b - 2b + a = a - 6b$$ 2. Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{60}{x} = \frac{60}{2} = 30$$ 3. Valor de la función: $$f(2) = a - 6b$$ Para que sea continua, igualamos: $$a - 6b = 30 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha e igual al valor de la función en ese punto.

Para que sea derivable, primero derivamos las ramas de la función por separado para $x \neq 2$: $$f'(x) = \begin{cases} -2bx - b & \text{si } x < 2 \\ -\frac{60}{x^2} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 2$: 1. Derivada por la izquierda: $$f'(2^-) = -2b(2) - b = -4b - b = -5b$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(2^+) = -\frac{60}{2^2} = -\frac{60}{4} = -15$$ Para que la función sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben ser iguales: $$-5b = -15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la derivabilidad, la función debe ser previamente continua en dicho punto.

De la condición de derivabilidad obtenemos $b$: $$-5b = -15 \implies b = \frac{-15}{-5} \implies \mathbf{b = 3}$$ Ahora, sustituimos el valor de $b$ en la **Ecuación 1** de la continuidad: $$a - 6(3) = 30$$ $$a - 18 = 30$$ $$a = 30 + 18 \implies \mathbf{a = 48}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 48, \quad b = 3}$$

**b) (1 punto) Para $a = 48$ y $b = 3$, estudie la monotonía de $f(x)$ y calcule sus extremos.** Con los valores obtenidos, la función y su derivada son: $$f(x) = \begin{cases} -3x^2 - 3x + 48 & \text{si } x \le 2 \\ \frac{60}{x} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ $$f'(x) = \begin{cases} -6x - 3 & \text{si } x \le 2 \\ -\frac{60}{x^2} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: - En la primera rama ($x < 2$): $$-6x - 3 = 0 \implies -6x = 3 \implies x = -\frac{3}{6} \implies x = -0.5$$ Este punto pertenece al intervalo $x < 2$, por lo que es un posible extremo. - En la segunda rama ($x > 2$): $$-\frac{60}{x^2} = 0 \implies -60 \neq 0$$ No hay puntos críticos en esta rama. 💡 **Tip:** Los extremos relativos solo pueden aparecer en puntos donde la derivada es cero o donde la función cambia de definición (si no fuera derivable).

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = -0.5$ y el punto de salto $x = 2$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -0.5) & -0.5 & (-0.5, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & -15 & - \\\hline \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Decrece} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -0.5)$, tomamos $x = -1$: $f'(-1) = -6(-1) - 3 = 3 > 0$ (**Creciente**). - En $(-0.5, 2)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = -3 < 0$ (**Decreciente**). - En $(2, +\infty)$, tomamos $x = 3$: $f'(3) = -60/9 < 0$ (**Decreciente**). ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, -0.5) \quad \text{y Decreciente en } (-0.5, +\infty)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\{x\\le 2: -3x^2 - 3x + 48, x > 2: 60/x\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(-0.5, 48.75)", "showLabel": true, "label": "Máximo Relativo", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -10, "top": 60 } } }

Al pasar de creciente a decreciente en $x = -0.5$, existe un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada sustituyendo en la función: $$f(-0.5) = -3(-0.5)^2 - 3(-0.5) + 48 = -3(0.25) + 1.5 + 48 = -0.75 + 1.5 + 48 = 48.75$$ No existen mínimos relativos en la función. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-0.5, 48.75)}$$