Probabilidad de oferta y compra

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día?** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $C$: Antonio va a la compra. - $\bar{C}$: Antonio no va a la compra. - $O$: La fruta está de oferta. - $\bar{O}$: La fruta no está de oferta. Extraemos las probabilidades del enunciado: - Antonio va a la compra 2 días de cada 5: $P(C) = \dfrac{2}{5} = 0.4$. - Por tanto, la probabilidad de que no vaya es el complementario: $P(\bar{C}) = 1 - 0.4 = 0.6$. - Si va a la compra, la fruta está de oferta un tercio de las veces: $P(O|C) = \dfrac{1}{3}$. - Si no va a la compra, la fruta está de oferta la mitad de las veces: $P(O|\bar{C}) = \dfrac{1}{2} = 0.5$. 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos complementarios siempre debe ser 1.

Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para visualizar mejor los caminos:

Para calcular la probabilidad de que la fruta esté de oferta, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(O) = P(C) \cdot P(O|C) + P(\bar{C}) \cdot P(O|\bar{C})$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(O) = \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \right)$$ $$P(O) = \frac{2}{15} + \frac{3}{10}$$ Para sumar las fracciones, buscamos el mínimo común múltiplo de 15 y 10, que es 30: $$P(O) = \frac{4}{30} + \frac{9}{30} = \frac{13}{30}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(O) = \frac{13}{30} \approx 0.4333}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta.** Nos piden calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos, es decir, $P(C \cup O)$. La fórmula general es: $$P(C \cup O) = P(C) + P(O) - P(C \cap O)$$ Ya conocemos $P(C) = 2/5$ y $P(O) = 13/30$. Necesitamos calcular la probabilidad de la intersección $P(C \cap O)$, que representa que Antonio vaya a la compra **y** la fruta esté de oferta: $$P(C \cap O) = P(C) \cdot P(O|C) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$$ Ahora aplicamos la fórmula de la unión: $$P(C \cup O) = \frac{2}{5} + \frac{13}{30} - \frac{2}{15}$$ Ponemos común denominador (30): $$P(C \cup O) = \frac{12}{30} + \frac{13}{30} - \frac{4}{30} = \frac{21}{30}$$ Simplificamos dividiendo entre 3: $$P(C \cup O) = \frac{7}{10} = 0.7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la palabra 'o' en probabilidad suele indicar la unión de sucesos ($A \cup B$), mientras que la palabra 'y' indica la intersección ($A \cap B$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cup O) = 0.7}$$