Contraste de hipótesis para la proporción de jóvenes en redes sociales

En primer lugar, debemos definir la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$). El enunciado ya nos indica que realicemos un contraste bilateral. - **Hipótesis nula ($H_0$):** La afirmación es cierta, es decir, la proporción poblacional es $p = 0.7$. - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** La proporción poblacional es distinta de la afirmada, $p \neq 0.7$. $$H_0: p = 0.7$$ $$H_1: p \neq 0.7$$ Nivel de significación: $\alpha = 0.01$ (1%). 💡 **Tip:** En un contraste bilateral, la región de rechazo se divide en dos colas iguales en los extremos de la distribución normal.

Extraemos los datos proporcionados por la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Casos favorables: $x = 340$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{340}{500} = 0.68$$ Bajo la hipótesis nula $H_0$, la proporción muestral $\hat{P}$ sigue una distribución Normal: $$\hat{P} \approx N\left(p_0, \sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}\right)$$ Donde $p_0 = 0.7$ y $q_0 = 1 - p_0 = 0.3$. Calculamos la desviación típica de la proporción (error estándar): $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{500}} = \sqrt{\frac{0.21}{500}} = \sqrt{0.00042} \approx 0.02049$$ $$\boxed{\hat{p} = 0.68, \quad \sigma_{\hat{p}} \approx 0.0205}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ en un contraste bilateral, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. $$\alpha = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$ Buscamos en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ Mirando en las tablas: - Para $0.9949 \to z = 2.57$ - Para $0.9951 \to z = 2.58$ Tomamos el valor intermedio o el más cercano (habitualmente se usa $2.575$ o $2.58$): $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ La región de aceptación será el intervalo $(-2.575, 2.575)$ para el estadístico tipificado. 💡 **Tip:** Recuerda que el valor crítico separa la zona de aceptación de la zona de rechazo.

Ahora calculamos el valor del estadístico de contraste (valor observado) $Z_{exp}$ para nuestra muestra: $$Z_{exp} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.68 - 0.7}{0.02049}$$ Calculamos la diferencia: $$Z_{exp} = \frac{-0.02}{0.02049} \approx -0.976$$ $$\boxed{Z_{exp} \approx -0.976}$$

Comparamos el valor obtenido $Z_{exp}$ con el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Como $|Z_{exp}| = |-0.976| = 0.976$, observamos que: $$0.976 \lt 2.575$$ Es decir, el valor del estadístico de contraste cae dentro de la región de aceptación: $$-2.575 \lt -0.976 \lt 2.575$$ **Conclusión:** No hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula $H_0$. Por tanto, se acepta, con un nivel de significación del 1%, que la afirmación del titular de prensa (el 70% de los jóvenes utilizan redes sociales) es cierta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se acepta la hipótesis } H_0: p = 0.7}$$