Resolución de sistemas matriciales y ecuaciones matriciales

**a) (1.25 puntos) Calcule las matrices $X$ e $Y$ para las que se verifica $X + Y = A$ y $3X + Y = B$.** Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas matriciales: 1) $X + Y = A$ 2) $3X + Y = B$ Para resolverlo, podemos usar el método de reducción. Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar la variable $Y$: $$(3X + Y) - (X + Y) = B - A$$ $$2X = B - A$$ 💡 **Tip:** Las matrices se pueden sumar y restar como si fueran variables algebraicas simples, siempre que tengan la misma dimensión.

Primero calculamos la resta $B - A$: $$B - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-(-7) \\ -5-2 & 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ -7 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora, despejamos $X$ dividiendo por 2 (o multiplicando por $\frac{1}{2}$): $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{7}{2} \\ -\frac{7}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado de X:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 3.5 \\ -3.5 & 1.5 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos el valor de $X$ en la primera ecuación ($X + Y = A$) para despejar $Y$: $$Y = A - X$$ $$Y = \begin{pmatrix} 1 & -7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & \frac{7}{2} \\ -\frac{7}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0 & -7-\frac{7}{2} \\ 2-(-\frac{7}{2}) & -1-\frac{3}{2} \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones con fracciones: - $-7 - \frac{7}{2} = -\frac{14}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{21}{2} = -10.5$ - $2 + \frac{7}{2} = \frac{4}{2} + \frac{7}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$ - $-1 - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$ ✅ **Resultado de Y:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 1 & -10.5 \\ 5.5 & -2.5 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.25 puntos) Halle la matriz $Z$ que verifica $B \cdot Z + B^t = 2I_2$.** Primero, aislamos el término que contiene a $Z$: $$B \cdot Z = 2I_2 - B^t$$ Para despejar $Z$, si la matriz $B$ es invertible, multiplicamos por la izquierda por $B^{-1}$: $$B^{-1} \cdot (B \cdot Z) = B^{-1} \cdot (2I_2 - B^t)$$ $$Z = B^{-1} \cdot (2I_2 - B^t)$$ 💡 **Tip:** El orden de la multiplicación matricial es fundamental. Como $B$ está a la izquierda de $Z$, su inversa $B^{-1}$ debe aparecer a la izquierda del miembro derecho.

Calculamos la traspuesta de $B$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos $2I_2 - B^t$: $$2I_2 - B^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz resultante $C$ para simplificar: $C = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Para hallar $B^{-1}$ de $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$: 1. Determinante: $|B| = (1 \cdot 2) - (0 \cdot -5) = 2$. Como $|B| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. Matriz de adjuntos $Adj(B)$: $Adj(B) = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 3. Traspuesta de la adjunta: $Adj(B)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$ 4. Inversa: $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} Adj(B)^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2.5 & 0.5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $Z = B^{-1} \cdot C$: $$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2.5 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) = 1$ ; $(1 \cdot 5) + (0 \cdot 0) = 5$ - Fila 2: $(2.5 \cdot 1) + (0.5 \cdot 0) = 2.5$ ; $(2.5 \cdot 5) + (0.5 \cdot 0) = 12.5$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Z = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2.5 & 12.5 \end{pmatrix}}$$