Estudio de beneficios de una empresa

**a) (0.8 puntos) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo ($t = 0$) y al final del décimo año ($t = 10$)?** Para calcular los beneficios en momentos específicos, simplemente debemos evaluar la función $B(t)$ en los valores de $t$ indicados. Para el inicio del periodo ($t=0$): $$B(0) = 2(0)^3 - 36(0)^2 + 162(0) - 6 = -6$$ Esto significa que al inicio hubo una pérdida de **6 mil euros**. Para el final del décimo año ($t=10$): $$B(10) = 2(10)^3 - 36(10)^2 + 162(10) - 6$$ $$B(10) = 2(1000) - 36(100) + 1620 - 6$$ $$B(10) = 2000 - 3600 + 1620 - 6 = 14$$ Al final del periodo, el beneficio fue de **14 mil euros**. 💡 **Tip:** Recuerda que un beneficio negativo representa una pérdida económica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(0) = -6 \text{ mil euros; } B(10) = 14 \text{ mil euros}}$$

**b) (1.7 puntos) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías?** Para hallar los máximos y mínimos de la función en el intervalo cerrado $[0, 10]$, primero calculamos la derivada de $B(t)$ para encontrar los puntos críticos donde la pendiente es cero. $$B(t) = 2t^3 - 36t^2 + 162t - 6$$ $$B'(t) = 6t^2 - 72t + 162$$ Ahora igualamos la derivada a cero: $$6t^2 - 72t + 162 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos entre 6: $$t^2 - 12t + 27 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(27)}}{2(1)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$t = \frac{12 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$t_1 = \frac{12+6}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{12-6}{2} = 3$$ Ambos valores, **$t=3$** y **$t=9$**, pertenecen al intervalo del estudio $[0, 10]$.

Analizamos el signo de la primera derivada $B'(t)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 10]$: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,3) & 3 & (3,9) & 9 & (9,10) \\ \hline B'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline B(t) & \nearrow & \text{Máximo rel.} & \searrow & \text{Mínimo rel.} & \nearrow \end{array}$$ Para determinar el máximo y mínimo absolutos en un intervalo cerrado, debemos comparar los valores de la función en los extremos del intervalo ($t=0$ y $t=10$) y en los puntos críticos ($t=3$ y $t=9$): 1. En $t=0$: $B(0) = -6$ (calculado en el apartado a). 2. En $t=3$: $B(3) = 2(3)^3 - 36(3)^2 + 162(3) - 6 = 54 - 324 + 486 - 6 = 210$. 3. En $t=9$: $B(9) = 2(9)^3 - 36(9)^2 + 162(9) - 6 = 1458 - 2916 + 1458 - 6 = -6$. 4. En $t=10$: $B(10) = 14$ (calculado en el apartado a). 💡 **Tip:** No olvides evaluar siempre los extremos del intervalo ($t=0$ y $t=10$) ya que el máximo o mínimo absoluto podría estar en ellos.

Comparando todos los valores obtenidos: - El valor más alto es **210** en **$t = 3$**. - El valor más bajo es **-6** en **$t = 0$** y **$t = 9$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máximo: } 210 \text{ mil euros en } t = 3 \text{ años} \\ &\text{Mínimo: } -6 \text{ mil euros en } t = 0 \text{ y } t = 9 \text{ años} \end{aligned}}$$