Probabilidad de asistencia a clase

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: - $A$: El primer alumno asiste a clase. - $B$: El segundo alumno asiste a clase. El enunciado nos proporciona las probabilidades de estos sucesos: - $P(A) = 85\% = 0,85$ - $P(B) = 35\% = 0,35$ También nos dice que asisten **de forma independiente**, lo cual es un dato clave. Si dos sucesos son independientes, se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Además, necesitaremos las probabilidades de que no asistan (sucesos contrarios): - $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,85 = 0,15$ - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,35 = 0,65$ Podemos resumir la situación con una tabla de contingencia: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0,2975 & 0,5525 & 0,85 \\ \bar{A} & 0,0525 & 0,0975 & 0,15 \\ \hline \text{Total} & 0,35 & 0,65 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para trabajar en probabilidad es fundamental pasar los porcentajes a número decimal dividiendo entre 100.

**a) (0.75 puntos) Que los dos hayan asistido a clase ese día.** El suceso "los dos han asistido" se representa matemáticamente como la intersección de ambos, $A \cap B$. Como el enunciado indica que los alumnos asisten de forma **independiente**, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ $$P(A \cap B) = 0,85 \cdot 0,35 = 0,2975$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0,2975}$$ 💡 **Tip:** El término "independiente" en probabilidad casi siempre implica que vas a tener que multiplicar las probabilidades para hallar la probabilidad conjunta.

**b) (0.75 puntos) Que alguno de ellos haya asistido a clase ese día.** El suceso "alguno de ellos" significa que asiste el primero, o asiste el segundo, o asisten ambos. Esto corresponde a la unión de sucesos, $A \cup B$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(A \cup B) = 0,85 + 0,35 - 0,2975$$ $$P(A \cup B) = 1,20 - 0,2975 = 0,9025$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0,9025}$$ 💡 **Tip:** En lenguaje probabilístico, "alguno" o "al menos uno" equivale siempre a la unión ($A \cup B$).

**c) (0.5 puntos) Que ninguno haya asistido a clase ese día.** El suceso "ninguno asiste" significa que el primero no asiste ($\bar{A}$) y el segundo tampoco asiste ($\bar{B}$). Esto es la intersección de los contrarios: $\bar{A} \cap \bar{B}$. Existen dos formas de calcularlo: **Método 1 (Por el suceso contrario de la unión):** "Ninguno asiste" es lo contrario de "al menos uno asiste". $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)$$ $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,9025 = 0,0975$$ **Método 2 (Por independencia):** Si $A$ y $B$ son independientes, sus contrarios $\bar{A}$ y $\bar{B}$ también lo son: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$$ $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15 \cdot 0,65 = 0,0975$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,0975}$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan nos dicen que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$.

**d) (0.5 puntos) Que haya asistido a clase el segundo, sabiendo que el primero no ha asistido.** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de $B$ sabiendo que ha ocurrido $\bar{A}$, denotado como $P(B | \bar{A})$. Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(B | \bar{A}) = \frac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$$ Al ser sucesos independientes, sabemos que $P(B \cap \bar{A}) = P(B) \cdot P(\bar{A})$. Si sustituimos esto en la fórmula: $$P(B | \bar{A}) = \frac{P(B) \cdot P(\bar{A})}{P(\bar{A})} = P(B)$$ Esto es lógico: si los sucesos son **independientes**, el hecho de que el primero no asista no influye en absoluto en la probabilidad de que asista el segundo. Por tanto: $$P(B | \bar{A}) = P(B) = 0,35$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B | \bar{A}) = 0,35}$$ 💡 **Tip:** Por definición, si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, $P(B|A) = P(B)$ y $P(A|B) = P(A)$.