Contraste de hipótesis para la media

**¿Qué se puede decir, a un nivel de significación del 5%, sobre la afirmación de la concejalía?** Primero, extraemos los datos del enunciado: - Hipótesis nula (afirmación a contrastar): $H_0: \mu \le 8$ - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 8.3$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$ Como queremos contrastar si la media es "a lo sumo" 8 frente a la posibilidad de que sea mayor, planteamos un **contraste unilateral de una cola (derecha)**: $$H_0: \mu \le 8$$ $$H_1: \mu \gt 8$$ 💡 **Tip:** La hipótesis nula $H_0$ siempre es la que contiene el signo de igualdad (en este caso $\le$). La hipótesis alternativa $H_1$ es la que queremos probar si hay evidencia suficiente.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que la probabilidad a su derecha sea $0.05$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 1 - 0.05 = 0.95$$ Buscando en la tabla $0.95$ (o el valor más cercano), encontramos que corresponde a: $$z_{\alpha} = 1.645$$ La **región de aceptación** será el intervalo $(-\infty, 1.645]$ y la **región de rechazo** será $(1.645, +\infty)$. 💡 **Tip:** Si el valor exacto $0.95$ no aparece, se suele hacer la media entre los valores para $1.64$ ($0.9495$) y $1.65$ ($0.9505$), resultando en $1.645$. $$\boxed{z_{\alpha} = 1.645}$$

Calculamos cuánto se aleja nuestra media muestral de la media hipotética utilizando la fórmula del estadístico de contraste $Z$: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{8.3 - 8}{1 / \sqrt{100}} = \frac{0.3}{1 / 10} = \frac{0.3}{0.1} = 3$$ El valor obtenido es $Z = 3$. 💡 **Tip:** El denominador $\sigma / \sqrt{n}$ se llama error estándar de la media y mide la dispersión de las medias muestrales. $$\boxed{Z = 3}$$

Comparamos el valor del estadístico observado ($Z = 3$) con el valor crítico ($z_{\alpha} = 1.645$): Como $3 \gt 1.645$, el estadístico de contraste **cae en la región de rechazo**. Esto significa que la diferencia entre la media observada ($8.3$) y la media afirmada ($8$) es demasiado grande para ser explicada por el azar con un 5% de nivel de significación. **Conclusión:** Se rechaza la hipótesis nula $H_0$. Por lo tanto, existen evidencias estadísticas suficientes, a un nivel de significación del 5%, para **refutar la afirmación de la concejalía**. Podemos afirmar que el tiempo medio dedicado a la lectura es superior a 8 horas semanales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0: \text{la afirmación de la concejalía no es aceptable al 5% de significación.}}$$