Álgebra 2014 Andalucia
Programación lineal: Modelización y recintos
EJERCICIO 1
a) (1.5 puntos) Plantee, sin resolver, el siguiente problema:
“Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños y grandes. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro por cada envase grande. ¿Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de almacenaje?”
b) (1 punto) Represente el recinto que determinan las inecuaciones
$2x \ge 10 + y, \quad x \le 2(5 - y), \quad x \ge 0, \quad y \ge 0$.
Paso 1
Definición de variables del problema
**a) (1.5 puntos) Plantee, sin resolver, el siguiente problema: “Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños y grandes. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro por cada envase grande. ¿Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de almacenaje?”**
En primer lugar, debemos identificar qué es lo que queremos calcular. Definimos las variables de decisión:
- $x$: número de envases de tamaño pequeño.
- $y$: número de envases de tamaño grande.
💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, las variables suelen representar las cantidades de los productos que queremos fabricar o almacenar para optimizar un coste o beneficio.
$$\boxed{x \ge 0, \quad y \ge 0}$$
Paso 2
Función objetivo y restricciones
A continuación, extraemos la información del enunciado para escribir la función que queremos optimizar (minimizar el coste) y las limitaciones (restricciones):
**1. Función objetivo:**
El coste total $C(x,y)$ en céntimos será:
$$C(x, y) = 10x + 20y$$
(Si lo expresamos en euros: $f(x, y) = 0.10x + 0.20y$)
**2. Restricciones:**
- Capacidad máxima total: $x + y \le 1000$
- Stock mínimo pequeños: $x \ge 100$
- Stock mínimo grandes: $y \ge 200$
- Demanda de grandes $\ge$ demanda de pequeños: $y \ge x$
💡 **Tip:** Asegúrate de que todas las unidades sean coherentes (todo en céntimos o todo en euros).
**Planteamiento final:**
$$\boxed{\begin{aligned} \text{Minimizar } & f(x, y) = 10x + 20y \\ \text{Sujeto a: } & x + y \le 1000 \\ & x \ge 100 \\ & y \ge 200 \\ & y \ge x \end{aligned}}$$
Paso 3
Análisis de las inecuaciones para la representación gráfica
**b) (1 punto) Represente el recinto que determinan las inecuaciones $2x \ge 10 + y, \quad x \le 2(5 - y), \quad x \ge 0, \quad y \ge 0$.**
Para representar el recinto, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan la región:
1. **Recta $r_1$:** $2x = 10 + y \implies y = 2x - 10$
- Si $x=5 \implies y=0$. Punto $(5, 0)$.
- Si $x=6 \implies y=2$. Punto $(6, 2)$.
- Como la inecuación es $2x \ge 10 + y$ (es decir, $y \le 2x - 10$), la región válida es la que está **debajo** de la recta.
2. **Recta $r_2$:** $x = 2(5 - y) \implies x = 10 - 2y \implies 2y = 10 - x \implies y = 5 - 0.5x$
- Si $x=10 \implies y=0$. Punto $(10, 0)$.
- Si $x=6 \implies y=2$. Punto $(6, 2)$.
- Como la inecuación es $x \le 10 - 2y$ (es decir, $2y \le 10 - x \implies y \le 5 - 0.5x$), la región válida es la que está **debajo** de la recta.
3. **Restricciones de no negatividad:** $x \ge 0, \quad y \ge 0$. Esto nos indica que el recinto está en el **primer cuadrante**.
💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta es el correcto, elige un punto cualquiera (como el $(0,0)$ si no pasa por la recta) y comprueba si cumple la desigualdad.
Paso 4
Representación del recinto y cálculo de vértices
Calculamos el punto de intersección de las dos rectas principales:
$$\begin{cases} y = 2x - 10 \\ y = 5 - 0.5x \end{cases} \implies 2x - 10 = 5 - 0.5x \implies 2.5x = 15 \implies x = 6$$
Sustituyendo $x=6$: $y = 2(6) - 10 = 2$. El vértice de intersección es **$(6, 2)$**.
Los otros vértices son los puntos de corte con el eje $OX$ ($y=0$):
- Para $r_1$: $0 = 2x - 10 \implies x = 5$. Vértice **$(5, 0)$**.
- Para $r_2$: $0 = 5 - 0.5x \implies 0.5x = 5 \implies x = 10$. Vértice **$(10, 0)$**.
El recinto es un triángulo formado por los puntos $(5,0)$, $(10,0)$ y $(6,2)$.
✅ **Representación del recinto:**
```desmos-graph
{
"expressions": [
{
"id": "1",
"latex": "y \\le 2x - 10",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "2",
"latex": "y \\le 5 - 0.5x",
"color": "#ef4444"
},
{
"id": "3",
"latex": "x \\ge 0",
"color": "#10b981"
},
{
"id": "4",
"latex": "y \\ge 0",
"color": "#f59e0b"
},
{
"id": "v1",
"latex": "(5,0)",
"label": "(5,0)",
"showLabel": true
},
{
"id": "v2",
"latex": "(10,0)",
"label": "(10,0)",
"showLabel": true
},
{
"id": "v3",
"latex": "(6,2)",
"label": "(6,2)",
"showLabel": true
}
],
"bounds": {
"left": -1,
"right": 12,
"bottom": -1,
"top": 5
}
}
```