Parámetros de una función cuadrática y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Calcule los valores que deben tener $p$ y $q$ para que la gráfica de la función $f$ pase por el punto $(-4, -5)$ y presente un máximo en el punto de abscisa $x = -1$. Determine el valor de $f(x)$ en ese punto.** Tenemos la función $f(x) = -x^2 + px + q$. Nos dan dos condiciones para determinar los parámetros $p$ y $q$: 1. **Pasa por el punto $(-4, -5)$**: Esto significa que cuando $x = -4$, el valor de la función es $-5$, es decir, $f(-4) = -5$. 2. **Máximo en $x = -1$**: En una función derivable, los extremos relativos (máximos o mínimos) ocurren donde la derivada es igual a cero. Por tanto, $f'(-1) = 0$. Calculamos primero la derivada de la función: $$f'(x) = -2x + p$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función tiene un extremo relativo en un punto $x = a$, entonces $f'(a) = 0$.

Aplicamos las condiciones anteriores para crear un sistema de ecuaciones: **Para el máximo en $x = -1$:** $$f'(-1) = 0 \implies -2(-1) + p = 0$$ $$2 + p = 0 \implies p = -2$$ **Para el punto $(-4, -5)$:** Sustituimos $p = -2$ en la función: $f(x) = -x^2 - 2x + q$. $$f(-4) = -5 \implies -(-4)^2 - 2(-4) + q = -5$$ $$-16 + 8 + q = -5$$ $$-8 + q = -5 \implies q = 3$$ Por tanto, los valores buscados son: $$\boxed{p = -2, \quad q = 3}$$

Con $p = -2$ y $q = 3$, la función es $f(x) = -x^2 - 2x + 3$. El máximo se encuentra en $x = -1$, calculamos su valor: $$f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$$ Comprobamos el signo de la derivada segunda para asegurar que es un máximo: $f''(x) = -2$. Como $f''(-1) = -2 \lt 0$, efectivamente se trata de un máximo. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,+\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array} $$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{p = -2, \; q = 3, \; f(-1) = 4}$$

**b) (1 punto) Represente la gráfica de $f$ para $p = 2$ y $q = -1$ y halle la ecuación de la recta tangente a esta gráfica en el punto de abscisa $x = -2$.** Para $p = 2$ y $q = -1$, la función es $f(x) = -x^2 + 2x - 1$. Se trata de una parábola cóncava (hacia abajo) ya que el coeficiente de $x^2$ es negativo. - **Vértice**: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$. $y_v = f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 1 = 0$. Punto $(1, 0)$. - **Corte eje Y**: $f(0) = -1$. Punto $(0, -1)$. - **Corte eje X**: $-x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$ (raíz doble).

Para hallar la recta tangente en $x = -2$, necesitamos el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Punto de tangencia**: $y_0 = f(-2)$ $$f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 1 = -4 - 4 - 1 = -9 \implies P(-2, -9)$$ 2. **Pendiente de la tangente**: $m = f'(-2)$ $$f'(x) = -2x + 2$$ $$m = f'(-2) = -2(-2) + 2 = 4 + 2 = 6$$ 3. **Ecuación de la recta**: Usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - (-9) = 6(x - (-2))$$ $$y + 9 = 6(x + 2) \implies y = 6x + 12 - 9$$ $$y = 6x + 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente a $f$ en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado (Ecuación tangente):** $$\boxed{y = 6x + 3}$$