Probabilidad y Estadística 2014 Andalucia
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Peritaje de bolsos
EJERCICIO 3
En una tienda de complementos disponen de 100 bolsos, de los cuales 80 son de una conocida marca y 20 son imitaciones casi perfectas de dicha marca. Una inspección encarga a un experto el peritaje de los bolsos de la tienda. Se sabe que este experto acierta en el 95% de sus peritajes cuando el bolso es auténtico y que detecta el 98% de las imitaciones. Se elige, al azar, un bolso para su examen:
a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que el experto acierte en su dictamen sobre ese bolso.
b) (1.25 puntos) Si el experto no ha acertado en su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea auténtico.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que el experto acierte en su dictamen sobre ese bolso.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El bolso elegido es auténtico.
- $I$: El bolso elegido es una imitación.
- $H$: El experto acierta en su dictamen (éxito).
- $\bar{H}$: El experto no acierta en su dictamen (fallo).
A partir del enunciado, extraemos las probabilidades:
- $P(A) = \dfrac{80}{100} = 0.8$
- $P(I) = \dfrac{20}{100} = 0.2$
- $P(H|A) = 0.95$ (probabilidad de acertar si es auténtico)
- $P(H|I) = 0.98$ (probabilidad de acertar si es imitación, es decir, detectarla)
Podemos representar esta situación mediante un **árbol de probabilidades**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que el experto acierte
Para calcular la probabilidad de que el experto acierte, $P(H)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El experto puede acertar en dos escenarios: que el bolso sea auténtico o que sea una imitación.
$$P(H) = P(A) \cdot P(H|A) + P(I) \cdot P(H|I)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(H) = 0.8 \cdot 0.95 + 0.2 \cdot 0.98$$
$$P(H) = 0.76 + 0.196$$
$$P(H) = 0.956$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. Por ejemplo, $P(H|A) + P(\bar{H}|A) = 0.95 + 0.05 = 1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(H) = 0.956}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicional (Teorema de Bayes)
**b) (1.25 puntos) Si el experto no ha acertado en su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea auténtico.**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori: la probabilidad de que el bolso sea auténtico ($A$) dado que el experto ha fallado ($\bar{H}$). Esto se denota como $P(A|\bar{H})$.
Utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|\bar{H}) = \frac{P(A \cap \bar{H})}{P(\bar{H})}$$
Primero, calculamos el denominador $P(\bar{H})$, que es la probabilidad de que el experto no acierte. Podemos usar el suceso contrario del apartado anterior:
$$P(\bar{H}) = 1 - P(H) = 1 - 0.956 = 0.044$$
Ahora calculamos el numerador, que es la probabilidad de que sea auténtico y el experto falle:
$$P(A \cap \bar{H}) = P(A) \cdot P(\bar{H}|A) = 0.8 \cdot 0.05 = 0.04$$
💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ mide la probabilidad de $A$ sabiendo que $B$ ya ha ocurrido. Se calcula como la probabilidad de la intersección dividida por la probabilidad de la condición.
Paso 4
Resultado final del apartado b
Sustituimos los valores en la fórmula de Bayes:
$$P(A|\bar{H}) = \frac{0.04}{0.044}$$
Para simplificar el cálculo, podemos expresarlo como fracción:
$$P(A|\bar{H}) = \frac{40}{44} = \frac{10}{11} \approx 0.9091$$
Esto significa que, si el experto se equivoca, hay aproximadamente un 90.91% de probabilidades de que el bolso fuera auténtico (y el experto dijera erróneamente que era una imitación).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|\bar{H}) = \frac{10}{11} \approx 0.9091}$$