Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) (1.75 puntos) Halle un intervalo de confianza, al 96%, para la media poblacional.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el peso de un huevo en gramos. Según el enunciado: - La población sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 1.23$. - El tamaño de la muestra es de dos docenas: $n = 24$. - El peso total de la muestra es $\sum X_i = 1615.2$ gramos. Calculamos la media muestral $\bar{x}$: $$\bar{x} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{1615.2}{24} = 67.3 \text{ g}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral es el estimador puntual de la media poblacional y se obtiene dividiendo la suma total por el número de elementos.

Para un nivel de confianza del $96\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02.$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0.98$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: - Para $z = 2.05$, la probabilidad es $0.9798$. - Para $z = 2.06$, la probabilidad es $0.9803$. Tomamos el valor más aproximado o realizamos una interpolación simple. Usualmente se acepta **$z_{\alpha/2} = 2.055$** (o $2.05$ según la precisión requerida). 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica la probabilidad de que el parámetro real esté dentro del intervalo. Cuanto mayor sea la confianza, mayor será el valor de $z_{\alpha/2}$ y más ancho el intervalo.

Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.055 \cdot \frac{1.23}{\sqrt{24}}.$$ Calculamos $\sqrt{24} \approx 4.899$: $$E = 2.055 \cdot \frac{1.23}{4.899} = 2.055 \cdot 0.2511 \approx 0.516.$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (67.3 - 0.516, 67.3 + 0.516) = (66.784, 67.816).$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (66.784, 67.816)}$$

**b) (0.75 puntos) Con el mismo nivel de confianza anterior, si nos exigieran que el intervalo tuviera una amplitud máxima de 0.8, ¿de qué tamaño, como mínimo, habría que tomar la muestra?** La amplitud del intervalo ($A$) es el doble del error ($E$): $$A = 2E \implies 0.8 = 2E \implies E = 0.4.$$ Usamos la fórmula del error para despejar $n$, manteniendo $z_{\alpha/2} = 2.055$ y $\sigma = 1.23$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 0.4 = 2.055 \cdot \frac{1.23}{\sqrt{n}}.$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\sqrt{n} = \frac{2.055 \cdot 1.23}{0.4} = \frac{2.52765}{0.4} = 6.319125.$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n = (6.319125)^2 \approx 39.93.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos que el error no supere el máximo (amplitud máxima), siempre debemos **redondear al alza**. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea pequeño, al buscar un tamaño de muestra "mínimo" para cumplir una restricción de error, siempre redondeamos al siguiente entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 40 \text{ huevos}}$$