Probabilidad y Estadística 2014 Canarias
Probabilidad en declaraciones de la renta
En una asesoría fiscal se ha contratado a tres personas para hacer declaraciones de la renta. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30% de las declaraciones, la segunda el 45% y la tercera el resto. Se ha comprobado que, de las declaraciones realizadas por la primera persona, el 1% son erróneas. La segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos.
Para declaraciones realizadas en dicha asesoría:
a) Calcular la probabilidad de que una declaración elegida al azar sea errónea.
b) Si se elige al azar una declaración correcta ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales:
- $P_1$: La declaración es realizada por la primera persona.
- $P_2$: La declaración es realizada por la segunda persona.
- $P_3$: La declaración es realizada por la tercera persona.
- $E$: La declaración es errónea.
- $\bar{E}$: La declaración es correcta (no errónea).
Datos del enunciado:
- $P(P_1) = 0,30$
- $P(P_2) = 0,45$
- $P(P_3) = 1 - (0,30 + 0,45) = 0,25$
- $P(E|P_1) = 0,01 \implies P(\bar{E}|P_1) = 0,99$
- $P(E|P_2) = 0,03 \implies P(\bar{E}|P_2) = 0,97$
- $P(E|P_3) = 0,02 \implies P(\bar{E}|P_3) = 0,98$
💡 **Tip:** En los problemas de probabilidad compuesta con varias fuentes (personas, máquinas), un árbol es la mejor forma de organizar la información.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de error
**a) Calcular la probabilidad de que una declaración elegida al azar sea errónea.**
Para calcular la probabilidad de que una declaración sea errónea, $P(E)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de cometer un error en cada una de las tres vías posibles:
$$P(E) = P(P_1) \cdot P(E|P_1) + P(P_2) \cdot P(E|P_2) + P(P_3) \cdot P(E|P_3)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(E) = 0,30 \cdot 0,01 + 0,45 \cdot 0,03 + 0,25 \cdot 0,02$$
$$P(E) = 0,003 + 0,0135 + 0,005$$
$$P(E) = 0,0215$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan al suceso final (E) nos da la probabilidad total de ese suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E) = 0,0215}$$
(O lo que es lo mismo, un $2,15\%$ de las declaraciones son erróneas).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Si se elige al azar una declaración correcta ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabiendo que la declaración es correcta ($\bar{E}$), ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la segunda persona ($P_2$)? Es decir, buscamos $P(P_2|\bar{E})$.
Primero, calculamos la probabilidad de que una declaración sea correcta:
$$P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,0215 = 0,9785$$
Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(P_2|\bar{E}) = \frac{P(P_2 \cap \bar{E})}{P(\bar{E})} = \frac{P(P_2) \cdot P(\bar{E}|P_2)}{P(\bar{E})}$$
Sustituimos los datos:
$$P(P_2|\bar{E}) = \frac{0,45 \cdot 0,97}{0,9785} = \frac{0,4365}{0,9785}$$
$$P(P_2|\bar{E}) \approx 0,4461$$
💡 **Tip:** Bayes siempre relaciona una condición final conocida con una causa inicial. La fórmula siempre es: (Probabilidad de la rama específica) / (Probabilidad total del suceso condicionante).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(P_2|\bar{E}) \approx 0,4461}$$