Contraste de hipótesis para la media

**a) Con una significación del 5%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que familias no han modificado sus hábitos y el peso del plástico que se tira a la basura no ha disminuido?** Primero, identificamos los parámetros de la población y los datos de la muestra: - Media poblacional (hipótesis nula): $\mu_0 = 40$ kg. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5,8$ kg. - Tamaño de la muestra: $n = 81$ familias. - Media muestral observada: $\bar{x} = 38,6$ kg. La variable $X$ representa los kilos de plástico tirados por familia al año. Según el enunciado, queremos comprobar si el peso **ha disminuido**, por lo que realizaremos un contraste de hipótesis unilateral (de una sola cola). 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia, lee bien si preguntan por un cambio (bilateral: $\neq$) o por un aumento/disminución (unilateral: $\gt$ o $\lt$).

Definimos la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$): - **$H_0: \mu = 40$** (No hay cambio, los hábitos siguen igual). - **$H_1: \mu \lt 40$** (El peso ha disminuido). Bajo la suposición de que $H_0$ es cierta, la media de las muestras de tamaño $n=81$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(40, \frac{5,8}{\sqrt{81}}\right)$$ Calculamos el error estándar (desviación típica de la media muestral): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{5,8}{9} \approx 0,6444$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(40, \, 0,6444)$.

Calculamos el valor de $z$ (tipificación) para nuestra media muestral $\bar{x} = 38,6$: $$z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{38,6 - 40}{0,6444}$$ $$z_{exp} = \frac{-1,4}{0,6444} \approx -2,1725$$ Este valor nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra muestra de la media teórica. 💡 **Tip:** El estadístico de contraste mide la discrepancia entre la muestra y la hipótesis. Si es muy grande (en valor absoluto), sospechamos de $H_0$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ (5%) en un contraste unilateral por la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,05$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $z_{0,05}$ tal que $P(Z \lt z_{0,05}) = 0,95$: $$z_{0,05} = 1,645$$ Por lo tanto, la **región crítica** (zona de rechazo) es el intervalo: $$R_c = (-\infty, \, -1,645)$$ Como nuestro estadístico $z_{exp} = -2,17$ cae dentro de la región crítica (puesto que $-2,17 \lt -1,645$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ Hay evidencias suficientes para afirmar que el peso ha disminuido con un nivel del 5%.}}$$

**b) ¿Cuál es la conclusión si se toma un nivel de significación del 1%?** Ahora cambiamos el nivel de exigencia a $\alpha = 0,01$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,01$. En la tabla de la normal, buscamos $z_{0,01}$ tal que $P(Z \lt z_{0,01}) = 0,99$: $$z_{0,01} = 2,33 \quad (\text{aproximadamente})$$ La nueva **región crítica** es: $$R_c = (-\infty, \, -2,33)$$ Comparamos nuestro estadístico calculado anteriormente ($z_{exp} = -2,17$) con el nuevo valor crítico: En este caso, $-2,17 \gt -2,33$, por lo que el valor **no cae** en la región crítica. 💡 **Tip:** Al disminuir $\alpha$ (del 5% al 1%), la región de rechazo se hace más pequeña. Es decir, somos "más estrictos" para rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede rechazar } H_0. \text{ Al 1\%, no hay pruebas suficientes de que el peso haya disminuido.}}$$