Estudio de la profundidad de la arena en una playa

**a) ¿Es continua esta función? ¿Es siempre creciente? Justificar la respuesta.** Para estudiar la continuidad, analizamos primero el dominio. La función está definida para $t \ge 0$. Debemos comprobar si hay un salto entre las dos ramas en el punto de cambio $t=1$. 1. **Valor de la función en $t=1$:** $$P(1) = 2 + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$$ 2. **Límite por la izquierda ($t \to 1^-$):** $$\lim_{t \to 1^-} P(t) = \lim_{t \to 1} (2 + \sqrt{t}) = 2 + 1 = 3$$ 3. **Límite por la derecha ($t \to 1^+$):** $$\lim_{t \to 1^+} P(t) = \lim_{t \to 1} \frac{8t - 2}{2t} = \frac{8(1) - 2}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3$$ Como $\lim_{t \to 1^-} P(t) = \lim_{t \to 1^+} P(t) = P(1) = 3$, la función es **continua en $t=1$**. Dado que las funciones que forman cada rama son continuas en sus respectivos dominios (la raíz para valores positivos y el cociente donde el denominador no es cero), concluimos que la función es continua para todo $t \ge 0$. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto $x=a$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua para todo } t \ge 0}$$

Para ver si es siempre creciente, estudiamos el signo de la derivada $P'(t)$ en cada tramo: **Tramo 1 ($0 \lt t \lt 1$):** $$P(t) = 2 + t^{1/2} \implies P'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}$$ Como $t > 0$, entonces $P'(t) > 0$. Por tanto, la función es **creciente** en este tramo. **Tramo 2 ($t \gt 1$):** Derivamos el cociente $P(t) = \frac{8t-2}{2t}$ o simplificamos primero $P(t) = \frac{8t}{2t} - \frac{2}{2t} = 4 - \frac{1}{t}$: $$P'(t) = 0 - \left( -\frac{1}{t^2} \right) = \frac{1}{t^2}$$ Como $t^2$ siempre es positivo, $P'(t) > 0$ para todo $t > 1$. Por tanto, la función es **creciente** también en este tramo. Al ser continua en $t=1$ y creciente en ambos tramos, la función es **siempre creciente** para $t \ge 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es siempre creciente en su dominio } [0, +\infty)}$$

**b) ¿Cuál será la profundidad de la capa de arena al pasar 2 años desde el inicio de la construcción?** Debemos calcular $P(2)$. Como $t=2$ pertenece al segundo intervalo ($t > 1$), usamos la segunda expresión de la función: $$P(t) = \frac{8t - 2}{2t}$$ Sustituimos $t=2$: $$P(2) = \frac{8(2) - 2}{2(2)} = \frac{16 - 2}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de elegir la rama correcta según el valor de la variable independiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La profundidad será de } 3.5 \text{ metros}}$$

**c) ¿Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la profundidad de la arena? Justificar la respuesta.** El enunciado indica que se elevará el paseo si la profundidad **supera los 4 metros**. Debemos analizar qué ocurre cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$): $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{8t - 2}{2t}$$ Se trata de un límite de un cociente de polinomios del mismo grado. El límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{8t - 2}{2t} = \frac{8}{2} = 4$$ Esto significa que la profundidad tiende a 4 metros pero, al ser la función estrictamente creciente (como demostramos en el apartado a), siempre se mantendrá por debajo de 4 metros ($P(t) < 4$ para todo $t$). 💡 **Tip:** Una asíntota horizontal en $y=4$ por la que la función crece indica que el valor se acerca a 4 sin llegar a tocarlo ni superarlo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No será necesario elevarlo, ya que la profundidad nunca superará los 4 metros}}$$